Номер 857, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

857. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Точки $K, L, M, N$ — середины дуг $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Докажите, что прямые $KM$ и $LN$ перпендикулярны.

Введем обозначения для градусных мер дуг окружности. Пусть градусная мера дуги $AB$ равна $2\alpha$. Поскольку точка $K$ является серединой дуги $AB$, то градусные меры дуг $AK$ и $KB$ равны $\alpha$. Аналогично, пусть градусная мера дуги $BC$ равна $2\beta$, тогда мера дуг $BL$ и $LC$ равна $\beta$; пусть мера дуги $CD$ равна $2\gamma$, тогда мера дуг $CM$ и $MD$ равна $\gamma$; и пусть мера дуги $DA$ равна $2\delta$, тогда мера дуг $DN$ и $NA$ равна $\delta$.

Сумма градусных мер всех дуг, составляющих полную окружность, равна $360^\circ$. Следовательно, мы можем записать: $2\alpha + 2\beta + 2\gamma + 2\delta = 360^\circ$. Разделив обе части этого равенства на 2, получим важное соотношение: $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ$.

Пусть прямые $KM$ и $LN$ пересекаются в точке $P$. Согласно теореме об угле между двумя пересекающимися хордами, величина этого угла равна полусумме градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. Рассмотрим угол $\angle KPN$. Он высекает на окружности дугу $KN$. Вертикальный ему угол, $\angle MPL$, высекает дугу $LM$.

Найдем градусные меры этих дуг, сложив меры их составляющих. Градусная мера дуги $KN$ равна сумме мер дуг $KA$ и $AN$, то есть $\alpha + \delta$. Градусная мера дуги $LM$ равна сумме мер дуг $LC$ и $CM$, то есть $\beta + \gamma$.

Теперь можем вычислить величину угла $\angle KPN$. Подставим найденные значения в формулу угла между хордами: $\angle KPN = \frac{1}{2}((\alpha + \delta) + (\beta + \gamma))$.

Сгруппировав слагаемые, получаем: $\angle KPN = \frac{1}{2}(\alpha + \beta + \gamma + \delta)$. Используя выведенное ранее соотношение $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 180^\circ$, находим: $\angle KPN = \frac{1}{2}(180^\circ) = 90^\circ$.

Поскольку угол пересечения прямых $KM$ и $LN$ равен $90^\circ$, данные прямые перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Перпендикулярность прямых $KM$ и $LN$ доказана.