Номер 851, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

851. Расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ двух окружностей равно $a$, угол, образуемый линией центров $O_1O_2$ с общей внешней касательной $MN$, равен $\alpha$, а с общей внутренней касательной $PQ$, — $\beta$ (рис. 270). Найдите радиусы окружностей.

Рис. 270

Обозначим радиусы окружностей с центрами в точках $O_1$ и $O_2$ как $r_1$ и $r_2$ соответственно. Из условия задачи известно, что расстояние между центрами $O_1O_2 = a$.

1. Рассмотрение общей внешней касательной MN.

Пусть общая внешняя касательная $MN$ пересекает линию центров $O_1O_2$ в точке $S$. По условию, угол, образуемый этими прямыми, равен $\alpha$. Проведем радиусы $O_1M$ и $O_2N$ к точкам касания $M$ и $N$. Радиусы перпендикулярны касательной в точке касания, следовательно, $O_1M \perp MN$ и $O_2N \perp MN$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SO_1M$ и $\triangle SO_2N$. Они подобны, так как имеют общий острый угол при вершине $S$. Из определения синуса в этих треугольниках:

$\sin \alpha = \frac{O_1M}{SO_1} = \frac{r_1}{SO_1} \implies SO_1 = \frac{r_1}{\sin \alpha}$

$\sin \alpha = \frac{O_2N}{SO_2} = \frac{r_2}{SO_2} \implies SO_2 = \frac{r_2}{\sin \alpha}$

Точки $S, O_1, O_2$ лежат на одной прямой, причем $O_1$ находится между $S$ и $O_2$. Следовательно, $SO_2 = SO_1 + O_1O_2$. Подставим известные нам выражения:

$\frac{r_2}{\sin \alpha} = \frac{r_1}{\sin \alpha} + a$

Умножим обе части уравнения на $\sin \alpha$:

$r_2 = r_1 + a \sin \alpha$

Отсюда получаем первое уравнение:

$r_2 - r_1 = a \sin \alpha$ (1)

2. Рассмотрение общей внутренней касательной PQ.

Пусть общая внутренняя касательная $PQ$ пересекает линию центров $O_1O_2$ в точке $T$. По условию, угол между этими прямыми равен $\beta$. Проведем радиусы $O_1Q$ и $O_2P$ к точкам касания $Q$ и $P$. Радиусы перпендикулярны касательной, значит, $O_1Q \perp PQ$ и $O_2P \perp PQ$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle TO_1Q$ и $\triangle TO_2P$. Они подобны, так как имеют равные вертикальные углы при вершине $T$. Из определения синуса в этих треугольниках:

$\sin \beta = \frac{O_1Q}{TO_1} = \frac{r_1}{TO_1} \implies TO_1 = \frac{r_1}{\sin \beta}$

$\sin \beta = \frac{O_2P}{TO_2} = \frac{r_2}{TO_2} \implies TO_2 = \frac{r_2}{\sin \beta}$

Точка $T$ лежит на отрезке $O_1O_2$, поэтому $O_1O_2 = TO_1 + TO_2$. Подставим известные выражения:

$a = \frac{r_1}{\sin \beta} + \frac{r_2}{\sin \beta}$

Умножим обе части уравнения на $\sin \beta$ и получим второе уравнение:

$r_1 + r_2 = a \sin \beta$ (2)

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $r_1$ и $r_2$:

$\begin{cases} r_2 - r_1 = a \sin \alpha \\ r_1 + r_2 = a \sin \beta \end{cases}$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(r_2 - r_1) + (r_1 + r_2) = a \sin \alpha + a \sin \beta$

$2r_2 = a(\sin \alpha + \sin \beta)$

$r_2 = \frac{a(\sin \beta + \sin \alpha)}{2}$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2):

$(r_1 + r_2) - (r_2 - r_1) = a \sin \beta - a \sin \alpha$

$2r_1 = a(\sin \beta - \sin \alpha)$

$r_1 = \frac{a(\sin \beta - \sin \alpha)}{2}$

Ответ: Радиусы окружностей равны $ \frac{a(\sin \beta - \sin \alpha)}{2} $ и $ \frac{a(\sin \beta + \sin \alpha)}{2} $.