Номер 847, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

847. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанной в прямоугольный треугольник и описанной около него, учитывая, что катеты треугольника равны $a$ и $b$.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$. Обозначим гипотенузу как $c$. Согласно теореме Пифагора, $c = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Для нахождения расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей, мы можем использовать координатный метод. Разместим вершину прямого угла треугольника в начале координат $C(0, 0)$, а катеты вдоль осей. Тогда вершины треугольника будут иметь координаты $C(0, 0)$, $A(0, b)$ и $B(a, 0)$.

1. Нахождение центра описанной окружности.

Центр описанной окружности (обозначим его $O$) для прямоугольного треугольника находится в середине гипотенузы $AB$. Найдем координаты этой точки:

$x_O = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{0 + a}{2} = \frac{a}{2}$

$y_O = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{b + 0}{2} = \frac{b}{2}$

Таким образом, координаты центра описанной окружности: $O\left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)$.

2. Нахождение центра вписанной окружности.

Центр вписанной окружности (инцентр, обозначим его $I$) является точкой пересечения биссектрис. Для прямоугольного треугольника с катетами на осях координат, координаты инцентра равны радиусу вписанной окружности $(r, r)$.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{a + b - \sqrt{a^2+b^2}}{2}$

Таким образом, координаты центра вписанной окружности: $I\left(\frac{a + b - c}{2}, \frac{a + b - c}{2}\right)$.

3. Вычисление расстояния между центрами.

Расстояние $d$ между центрами $O$ и $I$ найдем по формуле расстояния между двумя точками:

$d = \sqrt{(x_O - x_I)^2 + (y_O - y_I)^2}$

$d^2 = \left(\frac{a}{2} - r\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - r\right)^2$

Подставим выражение для $r$:

$\frac{a}{2} - r = \frac{a}{2} - \frac{a+b-c}{2} = \frac{a - (a+b-c)}{2} = \frac{a-a-b+c}{2} = \frac{c-b}{2}$

$\frac{b}{2} - r = \frac{b}{2} - \frac{a+b-c}{2} = \frac{b - (a+b-c)}{2} = \frac{b-a-b+c}{2} = \frac{c-a}{2}$

Теперь подставим эти результаты в формулу для $d^2$:

$d^2 = \left(\frac{c-b}{2}\right)^2 + \left(\frac{c-a}{2}\right)^2 = \frac{(c-b)^2 + (c-a)^2}{4}$

Раскроем скобки в числителе:

$d^2 = \frac{(c^2 - 2bc + b^2) + (c^2 - 2ac + a^2)}{4} = \frac{2c^2 - 2c(a+b) + a^2 + b^2}{4}$

Используя тождество $a^2 + b^2 = c^2$, получаем:

$d^2 = \frac{2c^2 - 2c(a+b) + c^2}{4} = \frac{3c^2 - 2c(a+b)}{4}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $d$:

$d = \sqrt{\frac{3c^2 - 2c(a+b)}{4}} = \frac{\sqrt{c(3c - 2(a+b))}}{2}$

Наконец, подставим $c = \sqrt{a^2+b^2}$, чтобы выразить расстояние только через катеты $a$ и $b$:

$d = \frac{\sqrt{\sqrt{a^2+b^2}(3\sqrt{a^2+b^2} - 2(a+b))}}{2} = \sqrt{\frac{3(a^2+b^2) - 2(a+b)\sqrt{a^2+b^2}}{4}}$

Также можно представить ответ в более компактной форме, исходя из выражения $d^2 = \frac{(c-b)^2 + (c-a)^2}{4}$:

$d = \frac{\sqrt{(\sqrt{a^2+b^2}-a)^2 + (\sqrt{a^2+b^2}-b)^2}}{2}$

Ответ: $\sqrt{\frac{3(a^2+b^2) - 2(a+b)\sqrt{a^2+b^2}}{4}}$