Номер 841, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

841. В окружности с радиусом $r$ проведена хорда длиной $\frac{2}{3}r$. Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — параллельная ей прямая. Найдите расстояние между этими прямыми.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. В окружности проведена хорда $AB$ длиной $\frac{2}{3}r$. Через один конец хорды, точку $A$, проведена касательная $l_1$. Через другой конец хорды, точку $B$, проведена прямая $l_2$, параллельная $l_1$. Необходимо найти расстояние между этими двумя параллельными прямыми.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется по их общему перпендикуляру. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен касательной $l_1$. Поскольку прямая $l_2$ параллельна $l_1$, она также будет перпендикулярна прямой, содержащей радиус $OA$.

Таким образом, искомое расстояние можно вычислить как разность расстояний от центра окружности $O$ до прямых $l_1$ и $l_2$ вдоль прямой $OA$.

1. Расстояние от центра $O$ до касательной $l_1$ равно радиусу окружности: $d_1 = r$.

2. Расстояние от центра $O$ до прямой $l_2$ равно длине проекции радиуса $OB$ на прямую $OA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Он является равнобедренным, так как $OA = OB = r$ (как радиусы). Длина основания $AB$ по условию равна $\frac{2}{3}r$.

Обозначим угол между радиусами $\angle AOB$ как $\alpha$. По теореме косинусов для треугольника $\triangle OAB$ имеем:

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения в формулу:

$(\frac{2}{3}r)^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos(\alpha)$

$\frac{4}{9}r^2 = 2r^2 - 2r^2 \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $2r^2$ (так как $r \neq 0$):

$\frac{2}{9} = 1 - \cos(\alpha)$

Выразим отсюда $\cos(\alpha)$:

$\cos(\alpha) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$

Расстояние от центра $O$ до прямой $l_2$ равно длине проекции отрезка $OB$ на прямую $OA$, которая вычисляется как $d_2 = OB \cdot |\cos(\alpha)|$.

$d_2 = r \cdot \frac{7}{9} = \frac{7}{9}r$

Так как значение $\cos(\alpha)$ положительно, угол $\alpha$ — острый. Это означает, что проекция точки $B$ на прямую $OA$ лежит на самом радиусе $OA$, а не на его продолжении. Следовательно, обе параллельные прямые $l_1$ и $l_2$ находятся по одну сторону от центра окружности $O$.

Искомое расстояние $d$ между прямыми $l_1$ и $l_2$ равно модулю разности их расстояний от центра $O$:

$d = |d_1 - d_2| = |r - \frac{7}{9}r| = |\frac{9r - 7r}{9}| = \frac{2}{9}r$

Ответ: $\frac{2}{9}r$.