Номер 834, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

834. Диагональ равнобедренной трапеции меньше периметра на $a$ см и разделяет тупой угол пополам. Найдите меньшее основание трапеции, учитывая, что ее средняя линия равна $b$ см.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, в которой $BC$ — меньшее основание, а $AD$ — большее основание. Обозначим длины:

• меньшее основание $BC = x$
• большее основание $AD = y$
• боковые стороны $AB = CD = c$
• диагональ $AC = d$
• периметр $P$
• средняя линия $m$

1. Анализ условия задачи

По условию, средняя линия трапеции равна $b$ см. Формула средней линии: $m = \frac{x+y}{2}$. Следовательно, $b = \frac{x+y}{2} \implies x+y = 2b$. (1)

По условию, диагональ $AC$ разделяет тупой угол $BCD$ пополам. Это означает, что $\angle BCA = \angle ACD$. Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ являются внутренними накрест лежащими при секущей $AC$, следовательно, они равны: $\angle BCA = \angle CAD$. Из этих двух равенств следует, что $\angle ACD = \angle CAD$. В треугольнике $ACD$ углы при основании $AC$ равны, значит, треугольник $ACD$ — равнобедренный, и его боковые стороны равны: $CD = AD$. Так как трапеция равнобедренная, $AB=CD$. Таким образом, мы получаем важное соотношение: $c = y$. То есть боковая сторона трапеции равна ее большему основанию.

2. Составление системы уравнений

Выразим периметр трапеции $P$: $P = BC + AD + AB + CD = x + y + c + c$. Так как $c=y$, $P = x + y + y + y = x + 3y$. Используя уравнение (1) ($x+y = 2b$), можно переписать периметр как: $P = (x+y) + 2y = 2b + 2y$.

По условию, диагональ меньше периметра на $a$ см: $d = P - a$. Подставим выражение для $P$: $d = (2b+2y) - a = 2b+2y-a$. (2)

Теперь найдем выражение для длины диагонали $d$ через стороны трапеции. В равнобедренной трапеции, для которой боковая сторона равна большему основанию ($c=y$), квадрат диагонали можно выразить через основания. Воспользуемся теоремой Птолемея для вписанного четырехугольника (равнобедренная трапеция всегда является вписанной): $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$. Так как в равнобедренной трапеции диагонали равны ($AC=BD=d$) и боковые стороны равны ($AB=CD=c=y$): $d^2 = c^2 + x \cdot y$. Подставляя $c=y$: $d^2 = y^2 + xy = y(x+y)$. Теперь подставим сюда уравнение (1) ($x+y = 2b$): $d^2 = y(2b) = 2by$. (3)

3. Решение уравнения

У нас есть два выражения для диагонали, (2) и (3). Приравняем их квадраты: $(2b+2y-a)^2 = 2by$. Раскроем скобки. Это квадратное уравнение относительно $y$. $((2y) + (2b-a))^2 = 2by$ $(2y)^2 + 2(2y)(2b-a) + (2b-a)^2 = 2by$ $4y^2 + 4y(2b-a) + (2b-a)^2 = 2by$ $4y^2 + 8by - 4ay + (2b-a)^2 - 2by = 0$ $4y^2 + (6b - 4a)y + (2b - a)^2 = 0$.

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ (большего основания) по формуле $y = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}$, где $A=4$, $B = 6b-4a$, $C = (2b-a)^2$. Дискриминант $\Delta = (6b-4a)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (2b-a)^2 = 4(3b-2a)^2 - 16(2b-a)^2$. Разложим как разность квадратов: $\Delta = (2(3b-2a) - 4(2b-a))(2(3b-2a) + 4(2b-a))$ $\Delta = (6b-4a - 8b+4a)(6b-4a + 8b-4a)$ $\Delta = (-2b)(14b-8a) = -28b^2 + 16ab = 4b(4a-7b)$. Для существования действительных корней необходимо $\Delta \ge 0$, то есть $4a-7b \ge 0$ или $a \ge \frac{7}{4}b$.

Корни уравнения для $y$: $y = \frac{-(6b-4a) \pm \sqrt{4b(4a-7b)}}{2 \cdot 4} = \frac{4a-6b \pm 2\sqrt{4ab-7b^2}}{8} = \frac{2a-3b \pm \sqrt{4ab-7b^2}}{4}$.

4. Нахождение меньшего основания

Мы ищем меньшее основание $x$. Из уравнения (1) имеем $x = 2b - y$. Подставим найденное выражение для $y$: $x = 2b - \frac{2a-3b \pm \sqrt{4ab-7b^2}}{4}$ $x = \frac{8b - (2a-3b \pm \sqrt{4ab-7b^2})}{4}$ $x = \frac{8b - 2a + 3b \mp \sqrt{4ab-7b^2}}{4}$ $x = \frac{11b - 2a \mp \sqrt{4ab-7b^2}}{4}$.

Из геометрических соображений ($y>x>0$) следует, что задача должна иметь единственное решение. Это означает, что из двух возможных знаков перед корнем нужно выбрать один. Обычно в таких задачах выбирается тот знак, который обеспечивает выполнение физических ограничений, однако без конкретных значений $a$ и $b$ дальнейшее упрощение или выбор знака затруднителен. Тем не менее, полученное выражение является общим решением.

Ответ: $x = \frac{11b - 2a \mp \sqrt{4ab-7b^2}}{4}$