Номер 831, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

831. Диагональ равнобедренной трапеции равна 23 см. Найдите периметр четырехугольника, вершинами которого являются середины сторон трапеции. Определите вид этого четырехугольника.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$. Пусть $K, L, M, N$ — середины ее сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. Четырехугольник, вершинами которого являются эти точки — это $KLMN$.

По условию, трапеция равнобедренная, а длина ее диагонали равна 23 см. В равнобедренной трапеции диагонали равны, следовательно, $AC = BD = 23$ см.

Определите вид этого четырехугольника

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$, следовательно, $KL$ является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне и равна ее половине:

$KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$

Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Отрезок $MN$ является его средней линией:

$MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$

Из этого следует, что $KL \parallel MN$ и $KL = MN$. Четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны и равны, является параллелограммом. Таким образом, $KLMN$ — параллелограмм.

Теперь рассмотрим смежные стороны этого параллелограмма, например, $KL$ и $LM$.

Отрезок $LM$ является средней линией треугольника $BCD$, следовательно:

$LM = \frac{1}{2}BD$

Мы знаем, что $KL = \frac{1}{2}AC$. Так как трапеция равнобедренная, ее диагонали равны: $AC = BD$.

Следовательно, смежные стороны параллелограмма $KLMN$ равны: $KL = LM$.

Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом.

Ответ: ромб.

Найдите периметр четырехугольника

Периметр $P$ четырехугольника $KLMN$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{KLMN} = KL + LM + MN + NK$.

Поскольку мы определили, что $KLMN$ — это ромб, все его стороны равны. Длина каждой стороны равна половине диагонали исходной трапеции.

Найдем длину одной из сторон, например, $KL$:

$KL = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 23 = 11,5$ см.

Тогда периметр ромба равен:

$P_{KLMN} = 4 \cdot KL = 4 \cdot 11,5 = 46$ см.

Можно также вычислить периметр, зная, что он равен сумме диагоналей исходной трапеции:

$P_{KLMN} = (\frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}AC) + (\frac{1}{2}BD + \frac{1}{2}BD) = AC + BD = 23 + 23 = 46$ см.

Ответ: 46 см.