Номер 825, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

825. В равнобедренный треугольник с основанием 24 см и боковой стороной 15 см вписан прямоугольник, диагонали которого параллельны боковым сторонам треугольника. Найдите стороны прямоугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC = 24$ см и боковыми сторонами $AB = BC = 15$ см. В него вписан прямоугольник $KLMN$ так, что вершины $K$ и $N$ лежат на основании $AC$, вершина $L$ — на стороне $AB$, а вершина $M$ — на стороне $BC$.

1. Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Следовательно, $H$ — середина $AC$, и $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

2. Найдем длину высоты $BH$ из прямоугольного треугольника $ABH$ по теореме Пифагора:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 15^2 - 12^2 = 225 - 144 = 81$
$BH = \sqrt{81} = 9$ см.

3. Обозначим стороны прямоугольника: пусть его длина $KN = LM = x$, а ширина $KL = MN = y$.
Поскольку сторона $LM$ прямоугольника параллельна основанию $AC$, треугольник $LBM$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle LBM \sim \triangle ABC$).
Пусть $P$ — точка пересечения высоты $BH$ и стороны $LM$. Тогда $BP$ — высота треугольника $LBM$.
$BP = BH - PH = BH - KL = 9 - y$.
Из подобия треугольников следует proportionality высот и оснований:
$\frac{BP}{BH} = \frac{LM}{AC}$
$\frac{9-y}{9} = \frac{x}{24}$
$24(9-y) = 9x$
$8(9-y) = 3x$
$72 - 8y = 3x \implies 3x + 8y = 72$. (1)

4. По условию, диагонали прямоугольника параллельны боковым сторонам треугольника. Рассмотрим диагональ $KM$ и боковую сторону $AB$. Условие $KM \parallel AB$ означает, что треугольник $KMC$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle KMC \sim \triangle ABC$), так как у них общий угол $C$, а углы $\angle CKM$ и $\angle CAB$ равны как соответственные при параллельных прямых $KM$ и $AB$ и секущей $AC$.
Из подобия следует отношение сторон:
$\frac{KM}{AB} = \frac{MC}{BC} = \frac{KC}{AC}$
Поскольку $AB = BC = 15$ см, то из $\frac{KM}{15} = \frac{MC}{15}$ следует, что $KM = MC$.

5. Выразим длины отрезков $KM$ и $MC$ через $x$ и $y$.
$KM$ — диагональ прямоугольника. Из прямоугольного треугольника $KNM$ по теореме Пифагора: $KM^2 = KN^2 + MN^2 = x^2 + y^2$.
Для нахождения $MC$ рассмотрим прямоугольный треугольник $MNC$. В нем $MN = y$. Катет $NC$ равен $HC - HN$. Так как прямоугольник симметричен относительно высоты $BH$, точка $H$ является серединой отрезка $KN$. Значит, $HN = \frac{KN}{2} = \frac{x}{2}$.
$NC = 12 - \frac{x}{2}$.
По теореме Пифагора для $\triangle MNC$: $MC^2 = MN^2 + NC^2 = y^2 + (12 - \frac{x}{2})^2$.

6. Теперь используем равенство $KM = MC$, а значит $KM^2 = MC^2$:
$x^2 + y^2 = y^2 + (12 - \frac{x}{2})^2$
$x^2 = (12 - \frac{x}{2})^2$
Извлекаем квадратный корень из обеих частей (так как длины сторон положительны):
$x = 12 - \frac{x}{2}$
$x + \frac{x}{2} = 12$
$\frac{3x}{2} = 12$
$3x = 24 \implies x = 8$ см.

7. Подставим найденное значение $x=8$ в уравнение (1), чтобы найти $y$:
$3(8) + 8y = 72$
$24 + 8y = 72$
$8y = 72 - 24$
$8y = 48 \implies y = 6$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 8 см и 6 см.

Ответ: 8 см и 6 см.