Номер 824, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

824. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, разделяет ее в отношении 1 : 3. Найдите диагонали прямоугольника, учитывая, что точка их пересечения отстоит от большей стороны на 6 см.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$, $AC$ — его диагональ. Из вершины $B$ на диагональ $AC$ опущен перпендикуляр $BH$. Точка $H$ делит диагональ $AC$ на отрезки $AH$ и $HC$ в отношении $1:3$.

Обозначим длину отрезка $AH$ как $x$. Тогда, согласно условию, длина отрезка $HC$ будет $3x$. Длина всей диагонали $AC$ будет суммой длин этих отрезков: $AC = AH + HC = x + 3x = 4x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $\angle B = 90^\circ$). $BH$ — это высота, опущенная на гипотенузу $AC$. В прямоугольном треугольнике действуют метрические соотношения, которые связывают катеты, гипотенузу и проекции катетов на гипотенузу.

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:
$AB^2 = AC \cdot AH$
$BC^2 = AC \cdot HC$

Подставим наши обозначения в эти формулы:
$AB^2 = (4x) \cdot x = 4x^2$, откуда $AB = \sqrt{4x^2} = 2x$.
$BC^2 = (4x) \cdot (3x) = 12x^2$, откуда $BC = \sqrt{12x^2} = 2\sqrt{3}x$.

Сравним стороны $AB$ и $BC$. Так как $\sqrt{3} \approx 1.732$, то $2\sqrt{3}x > 2x$. Следовательно, $BC$ является большей стороной прямоугольника, а $AB$ — меньшей.

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. В прямоугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам. Точка $O$ является центром прямоугольника. Расстояние от центра прямоугольника до одной из его сторон равно половине длины другой (перпендикулярной) стороны.

По условию, расстояние от точки $O$ до большей стороны ($BC$) равно 6 см. Это расстояние равно половине длины меньшей стороны ($AB$). Таким образом, мы можем записать:
$\frac{1}{2}AB = 6$ см.

Из этого уравнения находим длину стороны $AB$:
$AB = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ранее мы выразили $AB$ через $x$: $AB = 2x$. Теперь мы можем найти $x$:
$2x = 12$ см, откуда $x = 6$ см.

Зная $x$, мы можем найти длину диагонали $AC$:
$AC = 4x = 4 \cdot 6 = 24$ см.

Диагонали прямоугольника равны, поэтому обе диагонали имеют длину 24 см.

Ответ: 24 см.