Номер 830, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

830. Угол при основании равнобедренной трапеции разделяется диагональю пополам. Найдите периметр трапеции, учитывая, что ее основания отличаются на 18 см, а средняя линия равна 22 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD$ является большим основанием, а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. По свойству равнобедренной трапеции, $AB = CD$.

По условию, диагональ $AC$ делит угол при основании $A$ пополам. Это означает, что $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, и, следовательно, $\angle BAC = \angle CAD$.

Поскольку основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $\angle CAD$ и $\angle BCA$ являются внутренними накрест лежащими углами при секущей $AC$. Следовательно, $\angle CAD = \angle BCA$.

Из двух предыдущих равенств ($\angle BAC = \angle CAD$ и $\angle CAD = \angle BCA$) следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как два его угла равны ($\angle BAC = \angle BCA$), то он является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Значит, $AB = BC$.

Таким образом, мы установили, что боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию: $AB = CD = BC$.

Обозначим длину меньшего основания $BC$ как $b$, а большего основания $AD$ как $a$. Тогда длины боковых сторон $AB$ и $CD$ также равны $b$.

Из условия задачи нам известны:
1. Разность оснований: $a - b = 18$ см.
2. Средняя линия трапеции: $m = \frac{a+b}{2} = 22$ см.

Из формулы для средней линии выразим сумму оснований:
$a + b = 2 \times m = 2 \times 22 = 44$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} a - b = 18 \\ a + b = 44 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:
$(a - b) + (a + b) = 18 + 44$
$2a = 62$
$a = 31$ см.

Теперь найдем $b$, подставив значение $a$ в одно из уравнений:
$31 + b = 44$
$b = 44 - 31$
$b = 13$ см.

Итак, мы нашли длины оснований: $AD = a = 31$ см и $BC = b = 13$ см. Длины боковых сторон равны меньшему основанию: $AB = CD = b = 13$ см.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:
$P = AD + BC + AB + CD$
$P = 31 + 13 + 13 + 13$
$P = 70$ см.

Ответ: 70 см.