Номер 832, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

832. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне и разделяет угол пополам. Докажите, что одно из оснований трапеции вдвое больше другого.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми сторонами $AB$ и $CD$. По условию задачи диагональ $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$ и является биссектрисой угла $\angle BAD$. Требуется доказать, что одно из оснований вдвое больше другого, то есть $AD = 2 \cdot BC$ (примем $AD$ за большее основание).

1. Так как $AC$ — биссектриса угла $\angle BAD$, то $\angle BAC = \angle CAD$.

2. Основания трапеции $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$). При пересечении их секущей $AC$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle BCA = \angle CAD$.

3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $\angle BAC = \angle BCA$.

4. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как в нем два угла равны ($\angle BAC = \angle BCA$), он является равнобедренным, а значит, равны и стороны, противолежащие этим углам: $AB = BC$.

5. Поскольку трапеция $ABCD$ по условию равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

6. Сопоставляя выводы из пунктов 4 и 5, получаем, что $BC = CD$.

7. Теперь рассмотрим треугольник $ACD$. По условию, $AC \perp CD$, следовательно, $\triangle ACD$ — прямоугольный, с прямым углом $\angle ACD = 90^\circ$.

8. В равнобедренной трапеции углы при основании равны: $\angle CDA = \angle BAD$. Так как $AC$ — биссектриса, то $\angle BAD = 2 \cdot \angle CAD$. Следовательно, $\angle CDA = 2 \cdot \angle CAD$.

9. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Для $\triangle ACD$ это означает:
$\angle CAD + \angle CDA = 90^\circ$
Подставим в это уравнение выражение для $\angle CDA$ из пункта 8:
$\angle CAD + 2 \cdot \angle CAD = 90^\circ$
$3 \cdot \angle CAD = 90^\circ$
$\angle CAD = 30^\circ$

10. В прямоугольном треугольнике $ACD$ катет $CD$ лежит напротив угла $\angle CAD$, равного $30^\circ$. По свойству прямоугольного треугольника, длина катета, лежащего против угла в $30^\circ$, равна половине длины гипотенузы $AD$.
$CD = \frac{1}{2} AD \implies AD = 2 \cdot CD$.

11. В пункте 6 мы установили, что $BC = CD$. Заменяя $CD$ на $BC$ в последней формуле, получаем искомое соотношение:
$AD = 2 \cdot BC$.
Это доказывает, что большее основание трапеции вдвое больше меньшего.

Ответ: Утверждение доказано.