Номер 826, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

826. Точка пересечения диагоналей прямоугольника находится на 8 см дальше от меньшей стороны, чем от большей. Найдите стороны прямоугольника, учитывая, что его периметр равен 112 см.

Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$, где $a$ — меньшая сторона, а $b$ — большая сторона.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является его центром. Расстояние от центра прямоугольника до его сторон равно половине длин перпендикулярных им сторон.

Следовательно, расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшей стороны (длиной $a$) равно $\frac{b}{2}$, а расстояние до большей стороны (длиной $b$) равно $\frac{a}{2}$.

По условию задачи, точка пересечения диагоналей находится на 8 см дальше от меньшей стороны, чем от большей. Это можно записать в виде уравнения:

$\frac{b}{2} = \frac{a}{2} + 8$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

$b = a + 16$

Это означает, что большая сторона на 16 см длиннее меньшей.

Также по условию, периметр прямоугольника равен 112 см. Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a + b)$.

Подставим известное значение периметра:

$112 = 2(a + b)$

Разделим обе части уравнения на 2:

$56 = a + b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} b = a + 16 \\ a + b = 56 \end{cases}$

Подставим выражение для $b$ из первого уравнения во второе:

$a + (a + 16) = 56$

$2a + 16 = 56$

$2a = 56 - 16$

$2a = 40$

$a = \frac{40}{2} = 20$ см.

Теперь найдем вторую сторону $b$, используя первое уравнение:

$b = a + 16 = 20 + 16 = 36$ см.

Таким образом, стороны прямоугольника равны 20 см и 36 см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 20 см и 36 см.