Номер 820, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

820. Докажите, что отрезок, соединяющий точку одного основания трапеции с точкой другого ее основания, разделяется средней линией пополам.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Пусть $M$ — произвольная точка на основании $BC$, а $N$ — произвольная точка на основании $AD$. Проведем отрезок $MN$.

Пусть $EF$ — средняя линия трапеции, где $E$ — середина боковой стороны $AB$, а $F$ — середина боковой стороны $CD$. По определению, средняя линия трапеции параллельна ее основаниям, то есть $EF \parallel AD \parallel BC$.

Отрезок $MN$ пересекает среднюю линию $EF$ в некоторой точке $O$. Требуется доказать, что точка $O$ делит отрезок $MN$ пополам, то есть $MO = ON$.

Для доказательства воспользуемся обобщенной теоремой Фалеса (также известной как теорема о пропорциональных отрезках). Рассмотрим три параллельные прямые: прямую, содержащую основание $BC$; прямую, содержащую среднюю линию $EF$; и прямую, содержащую основание $AD$.

Эти три параллельные прямые пересекаются двумя секущими: прямой, содержащей боковую сторону $AB$, и прямой, содержащей отрезок $MN$.

Согласно теореме Фалеса, если три или более параллельные прямые пересекают две секущие, то отношение отрезков, отсекаемых на одной секущей, равно отношению соответствующих отрезков, отсекаемых на другой секущей. В нашем случае запишем это в виде пропорции: $$ \frac{BE}{EA} = \frac{MO}{ON} $$

Поскольку $E$ является серединой стороны $AB$ (так как $EF$ - средняя линия), то отрезки $BE$ и $EA$ равны: $BE = EA$. Следовательно, их отношение равно единице: $$ \frac{BE}{EA} = 1 $$

Подставив это значение в нашу пропорцию, получим: $$ \frac{MO}{ON} = 1 $$ Из этого равенства следует, что $MO = ON$.

Таким образом, точка $O$ является серединой отрезка $MN$, что означает, что средняя линия трапеции делит отрезок, соединяющий точки на ее основаниях, пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.