Номер 815, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

815. Докажите, что в прямоугольном треугольнике сумма длин катетов равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей (рис. 260).

$a + b = 2r + 2R$

Рис. 260

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Обозначим диаметр вписанной окружности как $d$, а диаметр описанной окружности — как $D$. Необходимо доказать, что сумма длин катетов равна сумме этих диаметров, то есть $a + b = d + D$.

Сначала найдем выражение для диаметра описанной окружности $D$. Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится в середине его гипотенузы. Следовательно, радиус описанной окружности $R$ равен половине гипотенузы:

$R = \frac{c}{2}$

Тогда диаметр описанной окружности $D$ равен длине гипотенузы:

$D = 2R = 2 \cdot \frac{c}{2} = c$

Теперь найдем выражение для диаметра вписанной окружности $d$. Для радиуса $r$ окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, существует формула:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Эта формула следует из свойства касательных, проведенных к окружности из одной точки. Отрезки катетов от вершины прямого угла до точек касания равны радиусу вписанной окружности $r$. Отрезки, на которые точки касания делят гипотенузу, равны $(a-r)$ и $(b-r)$. Таким образом, длина гипотенузы равна их сумме:

$c = (a - r) + (b - r) = a + b - 2r$

Из этого равенства выразим $2r$, что является диаметром вписанной окружности $d$:

$d = 2r = a + b - c$

Теперь, когда у нас есть выражения для обоих диаметров, найдем их сумму:

$d + D = (a + b - c) + c$

Упрощая это выражение, получаем:

$d + D = a + b$

Таким образом, мы доказали, что сумма длин катетов ($a+b$) равна сумме диаметров вписанной и описанной окружностей ($d+D$). Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма длин катетов в прямоугольном треугольнике действительно равна сумме диаметров его вписанной и описанной окружностей.