Номер 812, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

812. В треугольнике $ABC$ угол $A$ на $90^{\circ}$ больше угла $B$. Найдите косинус угла $C$, учитывая, что $AC = 5$, $BC = 10$.

Пусть в треугольнике $ABC$ углы равны $A$, $B$ и $C$. По условию задачи, угол $A$ на $90^\circ$ больше угла $B$, то есть $A = B + 90^\circ$. Также известны длины сторон $AC = 5$ и $BC = 10$.
Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$: $A + B + C = 180^\circ$. Подставим в это равенство выражение для угла $A$:
$(B + 90^\circ) + B + C = 180^\circ$
$2B + C = 90^\circ$
Отсюда выразим угол $C$: $C = 90^\circ - 2B$.
Применим к треугольнику теорему синусов, согласно которой отношение сторон к синусам противолежащих углов равны:
$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$
Подставим известные значения сторон:
$\frac{5}{\sin B} = \frac{10}{\sin A}$
Из этого соотношения следует, что $\sin A = 2 \sin B$.
Теперь заменим $A$ на $B + 90^\circ$:
$\sin(B + 90^\circ) = 2 \sin B$
Используя формулу приведения $\sin(x + 90^\circ) = \cos x$, получаем:
$\cos B = 2 \sin B$
Поскольку $A = B + 90^\circ < 180^\circ$, угол $B$ должен быть острым ($B < 90^\circ$), а значит $\cos B \neq 0$. Разделим обе части уравнения на $\cos B$:
$\frac{\sin B}{\cos B} = \tan B = \frac{1}{2}$
Нам нужно найти $\cos C$. Как мы ранее установили, $C = 90^\circ - 2B$. Следовательно, $\cos C = \cos(90^\circ - 2B)$.
Используя формулу приведения $\cos(90^\circ - x) = \sin x$, получаем:
$\cos C = \sin(2B)$
Применим формулу синуса двойного угла $\sin(2B) = 2 \sin B \cos B$.
Чтобы найти значения $\sin B$ и $\cos B$, зная, что $\tan B = 1/2$, воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $1 + \tan^2 B = \frac{1}{\cos^2 B}$:
$\frac{1}{\cos^2 B} = 1 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
Отсюда $\cos^2 B = \frac{4}{5}$. Так как $B$ — острый угол, его косинус положителен: $\cos B = \sqrt{\frac{4}{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.
Зная косинус и тангенс, найдем синус: $\sin B = \tan B \cdot \cos B = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
Наконец, подставляем найденные значения в выражение для $\cos C$:
$\cos C = 2 \sin B \cos B = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.