Номер 808, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

808. Биссектриса угла ACD ромба ABCD пересекает прямую AB в точке K (рис. 259). Учитывая, что $AK = 48 \text{ см}$, $BD = 14 \text{ см}$, найдите периметр ромба.

Рис. 259

Пусть сторона ромба $ABCD$ равна $a$. То есть $AB = BC = CD = DA = a$.

Поскольку $ABCD$ — ромб, его противоположные стороны параллельны, следовательно, $AB \parallel CD$. Прямая $AK$ содержит сторону $AB$, поэтому $AK \parallel CD$.

Рассмотрим параллельные прямые $AK$ и $CD$ и секущую $CK$. Внутренние накрест лежащие углы при этих параллельных прямых и секущей равны: $\angle AKC = \angle DCK$.

По условию, $CK$ — биссектриса угла $ACD$, следовательно, она делит этот угол пополам: $\angle ACK = \angle DCK$.

Из двух предыдущих равенств следует, что $\angle AKC = \angle ACK$. Это означает, что треугольник $ACK$ является равнобедренным, так как углы при его основании $CK$ равны. В равнобедренном треугольнике стороны, противолежащие равным углам, равны. Следовательно, $AC = AK$.

По условию дано, что $AK = 48$ см, значит, длина диагонали $AC$ также равна 48 см.

Таким образом, нам известны длины обеих диагоналей ромба: $AC = 48$ см и $BD = 14$ см.

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Пусть точка пересечения диагоналей — $O$. Тогда $AO = OC = \frac{AC}{2}$ и $BO = OD = \frac{BD}{2}$.

Вычислим половины длин диагоналей:
$AO = \frac{48}{2} = 24$ см
$BO = \frac{14}{2} = 7$ см

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ (угол $AOB$ прямой). Стороны $AO$ и $BO$ являются катетами, а сторона ромба $AB$ — гипотенузой. По теореме Пифагора:
$AB^2 = AO^2 + BO^2$
$a^2 = 24^2 + 7^2$
$a^2 = 576 + 49$
$a^2 = 625$
$a = \sqrt{625} = 25$ см

Итак, сторона ромба равна 25 см. Периметр ромба вычисляется по формуле $P = 4a$.
$P = 4 \times 25 = 100$ см

Ответ: 100 см.