Номер 803, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

803. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает сторону $CD$ в точке $K$. Найдите периметр параллелограмма, учитывая, что $\angle AKC = 120^\circ$, $AK = 12$ см, $KC = 5$ см.

Дано: $ABCD$ — параллелограмм, $AK$ — биссектриса угла $A$, точка $K$ лежит на стороне $CD$. Известно, что $\angle AKC = 120^\circ$, $AK = 12$ см, $KC = 5$ см.

1. Углы $\angle AKC$ и $\angle AKD$ являются смежными, так как они образуют развернутый угол на прямой $CD$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Найдем величину угла $\angle AKD$:
$\angle AKD = 180^\circ - \angle AKC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

2. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$). Прямая $AK$ является секущей для этих параллельных прямых. Углы $\angle BAK$ и $\angle AKD$ — внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны:
$\angle BAK = \angle AKD = 60^\circ$.

3. По условию, $AK$ является биссектрисой угла $A$, поэтому она делит его на два равных угла: $\angle DAK = \angle BAK$. Отсюда следует, что:
$\angle DAK = 60^\circ$.

4. Рассмотрим треугольник $ADK$. Нам известны два его угла: $\angle DAK = 60^\circ$ и $\angle AKD = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому можем найти третий угол $\angle D$:
$\angle D = 180^\circ - (\angle DAK + \angle AKD) = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.

5. Так как все углы в треугольнике $ADK$ равны $60^\circ$, он является равносторонним. В равностороннем треугольнике все стороны равны: $AD = DK = AK$.
Поскольку $AK = 12$ см, то и $AD = 12$ см, и $DK = 12$ см.

6. Мы нашли одну из сторон параллелограмма: $AD = 12$ см. Теперь найдем длину смежной стороны $CD$. Точка $K$ лежит на стороне $CD$, поэтому ее длина равна сумме длин отрезков $DK$ и $KC$ :
$CD = DK + KC = 12 \text{ см} + 5 \text{ см} = 17$ см.

7. Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон. Для параллелограмма $ABCD$ стороны $AD$ и $CD$ являются смежными.
$P_{ABCD} = 2(AD + CD) = 2(12 + 17) = 2 \cdot 29 = 58$ см.

Ответ: 58 см.