Номер 804, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

804. Биссектрисы углов $A$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекают его стороны в точках $K$ и $N$. Докажите, что четырехугольник $AKCN$ – параллелограмм.

Дано:
$ABCD$ — параллелограмм.
$AK$ — биссектриса угла $A$, $K \in BC$.
$CN$ — биссектриса угла $C$, $N \in AD$.

Доказать:
$AKCN$ — параллелограмм.

Доказательство:

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны. В частности, $AD \parallel BC$. Поскольку точки $N$ и $K$ лежат на этих сторонах ($N \in AD$, $K \in BC$), то отрезки $AN$ и $KC$ также параллельны: $AN \parallel KC$.

2. Рассмотрим биссектрису $AK$. Так как $AD \parallel BC$, а $AK$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle DAK = \angle BKA$. По условию $AK$ — биссектриса угла $A$, следовательно, $\angle DAK = \angle BAK$. Из этих двух равенств следует, что $\angle BAK = \angle BKA$.

3. Углы $\angle BAK$ и $\angle BKA$ являются углами при основании $AK$ треугольника $ABK$. Так как эти углы равны, треугольник $ABK$ является равнобедренным, а значит, его боковые стороны равны: $AB = BK$.

4. Теперь рассмотрим биссектрису $CN$. Так как $AD \parallel BC$, а $CN$ является секущей, то накрест лежащие углы равны: $\angle BCN = \angle CND$. По условию $CN$ — биссектриса угла $C$, следовательно, $\angle BCN = \angle DCN$. Из этих двух равенств следует, что $\angle CND = \angle DCN$.

5. Углы $\angle CND$ и $\angle DCN$ являются углами при основании $DN$ треугольника $CDN$. Так как эти углы равны, треугольник $CDN$ является равнобедренным, а значит, его боковые стороны равны: $CD = DN$.

6. В параллелограмме $ABCD$ противолежащие стороны равны: $AB = CD$ и $AD = BC$.
Из шагов 3 и 5 мы получили, что $AB = BK$ и $CD = DN$.
Так как $AB = CD$, то из этого следует, что $BK = DN$.

7. Мы знаем, что $AD = BC$. Представим эти стороны в виде сумм отрезков:
$AD = AN + ND$
$BC = BK + KC$
Следовательно, $AN + ND = BK + KC$.
Поскольку мы доказали, что $ND = BK$, мы можем вычесть равные части из обеих сторон равенства:
$AN = KC$.

8. Таким образом, в четырехугольнике $AKCN$ противолежащие стороны $AN$ и $KC$ параллельны (из шага 1) и равны (из шага 7).
Если в четырехугольнике две противолежащие стороны параллельны и равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
Следовательно, $AKCN$ — параллелограмм, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник AKCN — параллелограмм.