Номер 805, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

805. Точки K и N на сторонах AB и CD параллелограмма ABCD выбраны так, что $AK : KB = CN : ND$ (рис. 258). Докажите, что четырехугольник AKCN — параллелограмм.

Рис. 258

Доказательство:

Рассмотрим четырехугольник $AKCN$. Чтобы доказать, что он является параллелограммом, воспользуемся одним из его признаков: если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

1. По условию, исходная фигура $ABCD$ — параллелограмм. Это означает, что его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, $AB \parallel CD$ и $AB = CD$.

2. Точка $K$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $CD$. Так как отрезки $AK$ и $CN$ являются частями параллельных прямых $AB$ и $CD$, то они также параллельны друг другу: $AK \parallel CN$.

3. Теперь докажем, что длины этих отрезков равны. По условию дано соотношение: $AK : KB = CN : ND$.

Запишем это соотношение в виде пропорции: $$ \frac{AK}{KB} = \frac{CN}{ND} $$ Используем свойство пропорций: если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, то $\frac{a}{a+b} = \frac{c}{c+d}$. Применим это свойство к нашей пропорции: $$ \frac{AK}{AK+KB} = \frac{CN}{CN+ND} $$ Поскольку точка $K$ лежит на отрезке $AB$, то $AK + KB = AB$. Аналогично, $CN + ND = CD$. Заменим суммы в знаменателях: $$ \frac{AK}{AB} = \frac{CN}{CD} $$ Как мы установили в пункте 1, в параллелограмме $ABCD$ стороны $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$. Подставим это равенство в нашу пропорцию: $$ \frac{AK}{AB} = \frac{CN}{AB} $$ Из этого следует, что числители дробей также должны быть равны: $AK = CN$.

4. Таким образом, мы доказали, что в четырехугольнике $AKCN$ противоположные стороны $AK$ и $CN$ одновременно и параллельны ($AK \parallel CN$) и равны ($AK = CN$).

Следовательно, по признаку параллелограмма, четырехугольник $AKCN$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.