Номер 811, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

811. Угол $A$ треугольника $ABC$ равен $120^\circ$, а его стороны $AB$ и $CB$ равны соответственно $5\sqrt{2}$ и $5\sqrt{3}$. Найдите величину угла $C$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, в любом треугольнике отношение длин сторон к синусам противолежащих им углов является величиной постоянной. Для треугольника $ABC$ это записывается так:

$\frac{AB}{\sin(\angle C)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} = \frac{AC}{\sin(\angle B)}$

Из условия задачи нам известны:
- Угол $A = 120^\circ$
- Сторона $AB = 5\sqrt{2}$ (противолежит углу $C$)
- Сторона $CB$ (или $BC$) $= 5\sqrt{3}$ (противолежит углу $A$)

Подставим известные значения в формулу теоремы синусов:
$\frac{5\sqrt{2}}{\sin(C)} = \frac{5\sqrt{3}}{\sin(120^\circ)}$

Из этого уравнения выразим $\sin(C)$:
$\sin(C) = \frac{5\sqrt{2} \cdot \sin(120^\circ)}{5\sqrt{3}}$

Сократим множитель 5 в числителе и знаменателе:
$\sin(C) = \frac{\sqrt{2} \cdot \sin(120^\circ)}{\sqrt{3}}$

Теперь найдем значение $\sin(120^\circ)$. Используя формулу приведения, получаем:
$\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Подставим это значение в наше выражение для $\sin(C)$:
$\sin(C) = \frac{\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}$

Упростим дробь, сократив $\sqrt{3}$:
$\sin(C) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Уравнение $\sin(C) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для угла треугольника (от $0^\circ$ до $180^\circ$) имеет два возможных решения: $C = 45^\circ$ или $C = 135^\circ$.

Нужно проверить, какое из этих решений является допустимым. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
1. Предположим, что $C = 135^\circ$. Тогда сумма двух углов $A$ и $C$ будет $120^\circ + 135^\circ = 255^\circ$. Это значение превышает $180^\circ$, что невозможно для треугольника.
2. Предположим, что $C = 45^\circ$. Тогда сумма углов $A$ и $C$ будет $120^\circ + 45^\circ = 165^\circ$. Это значение меньше $180^\circ$, следовательно, такой треугольник может существовать. Третий угол $B$ будет равен $180^\circ - 165^\circ = 15^\circ$.

Таким образом, единственно возможное значение для угла $C$ — это $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.