Номер 813, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

813. На стороне $CD$ квадрата $ABCD$ отмечена точка $M$. Биссектриса угла $MAB$ пересекает сторону $BC$ в точке $N$. Докажите, что $AM = BN + DM$.

Дано:

ABCD — квадрат,
$M \in CD$,
AN — биссектриса $\angle MAB$,
$N \in BC$.

Доказать:

$AM = BN + DM$.

Доказательство:

Выполним дополнительное построение. На продолжении стороны BC за точку B отложим отрезок BK, равный отрезку DM.

Рассмотрим треугольники $\triangle ADM$ и $\triangle ABK$:

1. $AD = AB$ (как стороны квадрата).
2. $DM = BK$ (по построению).
3. $\angle ADM = 90^\circ$. Угол $\angle ABK$ является смежным с углом $\angle ABC = 90^\circ$, поэтому $\angle ABK = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, $\angle ADM = \angle ABK = 90^\circ$.

Таким образом, $\triangle ADM = \triangle ABK$ по двум катетам (или по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов:
$AM = AK$
$\angle DAM = \angle BAK$

Пусть $\angle MAN = \angle NAB = \alpha$, так как AN — биссектриса угла MAB. Тогда $\angle MAB = 2\alpha$.

Поскольку ABCD — квадрат, $\angle DAB = 90^\circ$. Тогда $\angle DAM = \angle DAB - \angle MAB = 90^\circ - 2\alpha$.

Так как $\angle DAM = \angle BAK$, то и $\angle BAK = 90^\circ - 2\alpha$.

Рассмотрим угол $\angle KAN$ в треугольнике $\triangle AKN$:
$\angle KAN = \angle KAB + \angle BAN = (90^\circ - 2\alpha) + \alpha = 90^\circ - \alpha$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABN$. Сумма его острых углов равна $90^\circ$, поэтому:
$\angle ANB = 90^\circ - \angle NAB = 90^\circ - \alpha$.

В треугольнике $\triangle AKN$ углы при основании AN равны:
$\angle KAN = 90^\circ - \alpha$
$\angle ANK = \angle ANB = 90^\circ - \alpha$ (так как точки K, B, N лежат на одной прямой).

Поскольку $\angle KAN = \angle ANK$, треугольник $\triangle AKN$ является равнобедренным, и его боковые стороны равны: $AK = KN$.

Ранее мы установили, что $AM = AK$. Следовательно, $AM = KN$.

Длина отрезка KN равна сумме длин отрезков KB и BN: $KN = KB + BN$.

По нашему построению $KB = DM$. Заменив KB на DM в последнем равенстве, получим: $KN = BN + DM$.

Итак, мы имеем $AM = KN$ и $KN = BN + DM$, откуда следует, что $AM = BN + DM$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = BN + DM$ доказано.