Номер 814, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

814. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 50 см. Найдите катеты, учитывая, что если один из них уменьшить на 50 %, а другой — на 25 %, то сумма их длин станет равной 43 см.

Пусть катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$.

По условию задачи, гипотенуза $c = 50$ см. Согласно теореме Пифагора, сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы:

$a^2 + b^2 = c^2$

$a^2 + b^2 = 50^2$

$a^2 + b^2 = 2500$

Это наше первое уравнение.

Второе условие гласит, что если один из катетов уменьшить на 50 %, а другой — на 25 %, то сумма их длин станет равной 43 см. Это условие можно записать двумя способами, в зависимости от того, какой катет на сколько уменьшается. Рассмотрим первый случай, когда катет $a$ уменьшается на 50 %, а катет $b$ — на 25 %.

Новая длина первого катета: $a' = a \cdot (1 - 0.50) = 0.5a$

Новая длина второго катета: $b' = b \cdot (1 - 0.25) = 0.75b$

Сумма их новых длин равна 43 см:

$0.5a + 0.75b = 43$

Это наше второе уравнение. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} a^2 + b^2 = 2500 \\ 0.5a + 0.75b = 43 \end{cases}$

Для удобства решения, умножим второе уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичных дробей:

$4 \cdot (0.5a + 0.75b) = 4 \cdot 43$

$2a + 3b = 172$

Выразим переменную $a$ из этого уравнения:

$2a = 172 - 3b \Rightarrow a = \frac{172 - 3b}{2}$

Теперь подставим это выражение для $a$ в первое уравнение системы:

$(\frac{172 - 3b}{2})^2 + b^2 = 2500$

$\frac{(172 - 3b)^2}{4} + b^2 = 2500$

Умножим все уравнение на 4:

$(172 - 3b)^2 + 4b^2 = 10000$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$172^2 - 2 \cdot 172 \cdot 3b + (3b)^2 + 4b^2 = 10000$

$29584 - 1032b + 9b^2 + 4b^2 = 10000$

$13b^2 - 1032b + 29584 - 10000 = 0$

$13b^2 - 1032b + 19584 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-1032)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 19584 = 1065024 - 1018368 = 46656$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{46656} = 216$.

Теперь найдем корни уравнения для $b$:

$b_1 = \frac{-B + \sqrt{D}}{2A} = \frac{1032 + 216}{2 \cdot 13} = \frac{1248}{26} = 48$

$b_2 = \frac{-B - \sqrt{D}}{2A} = \frac{1032 - 216}{2 \cdot 13} = \frac{816}{26} = \frac{408}{13}$

Мы нашли два возможных значения для катета $b$. Теперь найдем соответствующие значения для катета $a$ для каждого случая.

1. Если $b_1 = 48$ см:

$a_1 = \frac{172 - 3 \cdot 48}{2} = \frac{172 - 144}{2} = \frac{28}{2} = 14$ см.

Таким образом, одна пара катетов — 14 см и 48 см.

2. Если $b_2 = \frac{408}{13}$ см:

$a_2 = \frac{172 - 3 \cdot \frac{408}{13}}{2} = \frac{\frac{172 \cdot 13 - 1224}{13}}{2} = \frac{2236 - 1224}{26} = \frac{1012}{26} = \frac{506}{13}$ см.

Таким образом, вторая возможная пара катетов — $\frac{506}{13}$ см и $\frac{408}{13}$ см.

Второй случай, когда катет $a$ уменьшается на 25%, а катет $b$ на 50%, привел бы к уравнению $0.75a + 0.5b = 43$, что является симметричным первому случаю. Его решениями были бы пары (48, 14) и $(\frac{408}{13}, \frac{506}{13})$, что в итоге дает те же самые наборы длин катетов.

Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Катеты равны 14 см и 48 см, или $\frac{408}{13}$ см и $\frac{506}{13}$ см.