Номер 819, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

819. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований (рис. 262).

Рис. 262

Доказательство:

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть $a$ и $b$ — длины оснований, где $a = AD$ и $b = BC$. Для определенности предположим, что $AD > BC$. Диагонали трапеции — $AC$ и $BD$. Обозначим середину диагонали $AC$ точкой $M$, а середину диагонали $BD$ — точкой $N$. Требуется доказать, что длина отрезка $MN$ равна полуразности оснований: $MN = \frac{a - b}{2}$.

1. Рассмотрим треугольник $ABD$. Отметим на стороне $AB$ ее середину — точку $K$. Отрезок $KN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ABD$. По свойству средней линии, она параллельна основанию $AD$ и равна его половине:

$KN \parallel AD$ и $KN = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $KM$ соединяет середины сторон $AB$ и $AC$. Следовательно, $KM$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна основанию $BC$ и равна его половине:

$KM \parallel BC$ и $KM = \frac{1}{2}BC = \frac{b}{2}$.

3. В трапеции основания параллельны: $AD \parallel BC$. Из предыдущих пунктов мы получили, что $KN \parallel AD$ и $KM \parallel BC$. Отсюда следует, что $KN \parallel KM$. Поскольку два отрезка, выходящие из одной точки $K$, параллельны друг другу, они должны лежать на одной прямой. Значит, точки $K$, $M$ и $N$ лежат на одной прямой.

4. Так как точки $K, M, N$ лежат на одной прямой, и $AD > BC$, то $KN > KM$, и точка $M$ лежит между точками $K$ и $N$. Длина отрезка $MN$ может быть найдена как разность длин отрезков $KN$ и $KM$:

$MN = KN - KM$.

5. Подставим найденные значения длин $KN$ и $KM$:

$MN = \frac{a}{2} - \frac{b}{2} = \frac{a - b}{2}$.

Таким образом, доказано, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, равен полуразности ее оснований.

Ответ: Что и требовалось доказать.