Номер 821, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

821. Стороны параллелограмма равны 15 см и 20 см. Биссектрисы соседних углов параллелограмма разделяют противоположную сторону на три отрезка. Найдите их длины.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть его стороны равны $a$ и $b$, например, $AD = BC = a$ и $AB = CD = b$. По условию, стороны равны 15 см и 20 см.

Пусть биссектрисы соседних углов $A$ и $B$ пересекают противоположную сторону $CD$ в точках $E$ и $F$ соответственно.

Рассмотрим биссектрису $AE$ угла $A$. По определению биссектрисы, $\angle DAE = \angle BAE$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$. При пересечении параллельных прямых $AB$ и $CD$ секущей $AE$ накрест лежащие углы равны: $\angle BAE = \angle AED$. Из этих двух равенств следует, что $\angle DAE = \angle AED$. Таким образом, треугольник $\triangle ADE$ является равнобедренным с основанием $AE$, и, следовательно, его боковые стороны равны: $AD = DE$.

Аналогично рассмотрим биссектрису $BF$ угла $B$. По определению, $\angle ABF = \angle CBF$. Поскольку $AB \parallel CD$, накрест лежащие углы при секущей $BF$ равны: $\angle ABF = \angle BFC$. Отсюда следует, что $\angle CBF = \angle BFC$. Таким образом, треугольник $\triangle BCF$ является равнобедренным с основанием $BF$, и его боковые стороны равны: $BC = CF$.

Итак, мы получили, что отрезки, отсекаемые биссектрисами от стороны $CD$, равны боковым сторонам: $DE = AD = a$ и $CF = BC = a$.

Теперь нужно определить, какая из сторон является боковой, а какая — основанием, которое делят биссектрисы. Пусть сторона, которую делят биссектрисы, $CD = 15$ см, а боковая сторона $AD = 20$ см. В этом случае отрезок $DE$ должен быть равен $AD$, то есть $DE = 20$ см. Однако точка $E$ должна лежать на стороне $CD$, длина которой всего 15 см. Так как $DE > CD$ ($20 > 15$), точка $E$ не может принадлежать отрезку $CD$. Следовательно, этот случай невозможен.

Значит, сторона, которую делят биссектрисы, должна быть большей стороной. Пусть $CD = 20$ см, а боковая сторона $AD = 15$ см. В этом случае $DE = AD = 15$ см и $CF = BC = 15$ см. Поскольку $DE = 15$ см $< CD = 20$ см и $CF = 15$ см $< CD = 20$ см, обе точки $E$ и $F$ лежат на стороне $CD$. Это означает, что биссектрисы действительно разделяют сторону $CD$ на три отрезка.

Найдем длины этих трех отрезков. Сторона $CD$ имеет длину 20 см. Точка $E$ отсекает от вершины $D$ отрезок $DE = 15$ см. Точка $F$ отсекает от вершины $C$ отрезок $CF = 15$ см. Сумма длин отрезков $DE$ и $CF$ равна $15 + 15 = 30$ см, что больше длины стороны $CD$. Это значит, что отрезки $DE$ и $CF$ перекрываются. Длины трех полученных отрезков можно найти следующим образом:

1. Длина первого крайнего отрезка (от вершины $D$ до точки $F$): $DF = CD - CF = 20 - 15 = 5$ см.
2. Длина второго крайнего отрезка (от вершины $C$ до точки $E$): $CE = CD - DE = 20 - 15 = 5$ см.
3. Длина среднего отрезка $EF$: $EF = CD - DF - CE = 20 - 5 - 5 = 10$ см.

Таким образом, сторона параллелограмма разделена на три отрезка, длины которых равны 5 см, 10 см и 5 см.

Ответ: 5 см, 10 см, 5 см.