Номер 828, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

828. Через вершину равнобедренной трапеции с острым углом $60^\circ$ параллельно боковой стороне проведена прямая, отрезок которой, заключенный внутри трапеции, равен 36 см. Найдите меньшее основание трапеции, учитывая, что ее средняя линия равна 50 см.

Пусть дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC, где AD — большее основание, а BC — меньшее. Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$. По условию, трапеция равнобедренная, значит ее боковые стороны равны ($AB = CD$) и острые углы при большем основании равны $60^\circ$ ($\angle A = \angle D = 60^\circ$).

Средняя линия трапеции равна 50 см. Длина средней линии $m$ вычисляется по формуле $m = \frac{a + b}{2}$. Подставив известные значения, получим первое уравнение, связывающее длины оснований:
$50 = \frac{a + b}{2}$
$a + b = 100$

По условию, через вершину C проведена прямая, параллельная боковой стороне AB. Пусть эта прямая пересекает большее основание AD в точке E. Длина отрезка CE, заключенного внутри трапеции, равна 36 см.

Рассмотрим получившийся четырехугольник ABCE. В нем стороны BC и AE параллельны, так как они лежат на параллельных прямых AD и BC. Стороны AB и CE параллельны по построению. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, ABCE — параллелограмм. Из свойств параллелограмма следует, что его противолежащие стороны равны:
$AE = BC = b$
$AB = CE = 36$ см.

Поскольку трапеция ABCD равнобедренная, то ее боковые стороны равны: $CD = AB$. Так как мы нашли, что $AB = 36$ см, то и $CD = 36$ см.

Теперь рассмотрим треугольник CDE. Мы знаем длины двух его сторон: $CE = 36$ см (по условию) и $CD = 36$ см (как боковая сторона). Значит, треугольник CDE — равнобедренный. Угол $\angle D$ трапеции является углом этого треугольника, то есть $\angle CDE = 60^\circ$. Равнобедренный треугольник, у которого один из углов при основании равен $60^\circ$, является равносторонним. Это следует из того, что второй угол при основании также равен $60^\circ$, а угол при вершине равен $180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$. Таким образом, все стороны треугольника CDE равны 36 см: $ED = CD = CE = 36$ см.

Большее основание AD состоит из двух отрезков: $AD = AE + ED$. Подставив известные нам выражения, получим второе уравнение:
$a = b + 36$
$a - b = 36$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} a + b = 100 \\ a - b = 36 \end{cases}$
Для нахождения меньшего основания $b$ вычтем из первого уравнения второе:
$(a + b) - (a - b) = 100 - 36$
$a + b - a + b = 64$
$2b = 64$
$b = 32$ см.

Ответ: 32 см.