Номер 833, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

833. Точка K на стороне $AD$ трапеции $ABCD$ выбрана так, что $BK \parallel CD$. Найдите длину отрезка $BC$, учитывая, что периметр треугольника $ABK$ равен 15 см, а периметр трапеции $ABCD$ — 25 см.

Рассмотрим четырехугольник $KBCD$.

По определению трапеции $ABCD$, ее основания параллельны. Пусть $BC$ и $AD$ — основания трапеции. Тогда $BC \parallel AD$.

Так как точка $K$ лежит на стороне $AD$, то отрезок $KD$ является частью прямой $AD$. Следовательно, $BC \parallel KD$.

По условию задачи дано, что $BK \parallel CD$.

Поскольку у четырехугольника $KBCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($BC \parallel KD$ и $BK \parallel CD$), то $KBCD$ является параллелограммом по определению.

Основное свойство параллелограмма заключается в том, что его противолежащие стороны равны. Отсюда следует:

$BK = CD$

$BC = KD$

Периметр трапеции $ABCD$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD = 25$ см.

Сторону $AD$ можно представить в виде суммы двух отрезков: $AD = AK + KD$. Подставим это выражение в формулу периметра трапеции:

$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AK + KD$

Теперь воспользуемся равенствами сторон параллелограмма $KBCD$. Заменим $CD$ на $BK$ и $KD$ на $BC$:

$P_{ABCD} = AB + BC + BK + AK + BC$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить периметр треугольника $ABK$:

$P_{ABCD} = (AB + BK + AK) + BC + BC$

$P_{ABCD} = P_{ABK} + 2 \cdot BC$

По условию, периметр треугольника $ABK$ равен $P_{ABK} = 15$ см, а периметр трапеции $P_{ABCD} = 25$ см. Подставим эти значения в полученное уравнение:

$25 = 15 + 2 \cdot BC$

Решим это уравнение, чтобы найти длину $BC$:

$2 \cdot BC = 25 - 15$

$2 \cdot BC = 10$

$BC = \frac{10}{2}$

$BC = 5$ см.

Ответ: 5 см.