Номер 838, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

838. Хорда $AB$ круга с центром $O$ продлена за точку $B$ на расстояние $BK$, равное радиусу. Точка $C$ — ближайшая к $A$ точка пересечения окружности с прямой $KO$ (рис. 266). Докажите, что $\angle AOC = 3\angle OKB$.

Рис. 266

Пусть $R$ — радиус окружности с центром в точке $O$. Согласно условию задачи, отрезки $OA$, $OB$, $OC$ являются радиусами, поэтому $OA = OB = OC = R$. Также дано, что $BK = R$.

Для удобства введем обозначение: пусть $\angle OKB = \alpha$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OBK$. В этом треугольнике две стороны равны: $OB = R$ (как радиус) и $BK = R$ (по условию). Следовательно, $\triangle OBK$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам, равны. Стороне $OB$ противолежит угол $\angle BKO$ (он же $\angle OKB$), а стороне $BK$ противолежит угол $\angle BOK$. Таким образом, получаем:

$\angle BOK = \angle BKO = \alpha$.

Угол $\angle OBA$ является внешним углом для треугольника $\triangle OBK$ при вершине $B$, так как точки $A, B, K$ лежат на одной прямой. По свойству внешнего угла, его величина равна сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним:

$\angle OBA = \angle BOK + \angle BKO = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. В нем стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы окружности ($OA = OB = R$). Следовательно, $\triangle OAB$ также является равнобедренным, с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$ углы при основании равны:

$\angle OAB = \angle OBA = 2\alpha$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle AOB$ в треугольнике $\triangle OAB$:

$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (2\alpha + 2\alpha) = 180^\circ - 4\alpha$.

По условию, точка $C$ лежит на прямой $KO$. Из рисунка 266 следует, что точка $O$ лежит между точками $K$ и $C$, то есть они образуют развернутый угол $\angle KOC = 180^\circ$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle AOK$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$:

$\angle AOC + \angle AOK = 180^\circ$.

Угол $\angle AOK$, в свою очередь, состоит из суммы углов $\angle AOB$ и $\angle BOK$ (так как луч $OB$ проходит между лучами $OA$ и $OK$):

$\angle AOK = \angle AOB + \angle BOK = (180^\circ - 4\alpha) + \alpha = 180^\circ - 3\alpha$.

Наконец, выразим искомый угол $\angle AOC$:

$\angle AOC = 180^\circ - \angle AOK = 180^\circ - (180^\circ - 3\alpha) = 3\alpha$.

Вспоминая, что $\alpha = \angle OKB$, мы получаем итоговое равенство:

$\angle AOC = 3\angle OKB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle AOC = 3\angle OKB$ доказано.