Номер 845, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

845. В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $Q$. Докажите, что сумма площадей треугольников $AQB$ и $CQD$ не зависит от выбора точки $Q$ и равна сумме площадей треугольников $AQC$ и $BQD$.

Задача состоит из двух утверждений, которые нужно доказать:

1. Сумма площадей треугольников $AQB$ и $CQD$ не зависит от выбора точки $Q$.
2. Эта сумма равна сумме площадей треугольников $AQC$ и $BQD$.

Докажем эти утверждения по порядку.

Доказательство того, что сумма площадей треугольников AQB и CQD не зависит от выбора точки Q

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Обозначим площадь треугольника $XYZ$ как $S(\Delta XYZ)$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

1. Рассмотрим треугольник $AQB$. В качестве основания выберем сторону $AB$. Пусть длина $AB$ равна $a$. Проведем из точки $Q$ высоту $h_1$ на прямую, содержащую основание $AB$. Тогда площадь треугольника $AQB$ равна:
$S(\Delta AQB) = \frac{1}{2} a \cdot h_1$.

2. Рассмотрим треугольник $CQD$. В качестве основания выберем сторону $CD$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, $CD$ параллельна $AB$ и длина $CD$ также равна $a$. Проведем из точки $Q$ высоту $h_2$ на прямую, содержащую основание $CD$. Тогда площадь треугольника $CQD$ равна:
$S(\Delta CQD) = \frac{1}{2} a \cdot h_2$.

3. Найдем сумму этих площадей:
$S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = \frac{1}{2} a \cdot h_1 + \frac{1}{2} a \cdot h_2 = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2)$.

4. Так как прямые $AB$ и $CD$ параллельны, сумма расстояний $h_1 + h_2$ от любой точки $Q$, расположенной между этими прямыми, до этих прямых есть величина постоянная, равная высоте параллелограмма $H$, проведенной к основанию $AB$. То есть, $h_1 + h_2 = H$.

5. Подставим это в формулу для суммы площадей:
$S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = \frac{1}{2} a \cdot H$.

6. Площадь самого параллелограмма $ABCD$ равна произведению основания на высоту: $S(ABCD) = a \cdot H$.

Таким образом, мы получаем, что сумма площадей треугольников $AQB$ и $CQD$ равна половине площади параллелограмма:
$S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = \frac{1}{2} S(ABCD)$.

Эта величина зависит только от размеров параллелограмма и не зависит от выбора точки $Q$. Первая часть утверждения доказана.

Ответ: Сумма площадей треугольников $AQB$ и $CQD$ не зависит от выбора точки $Q$ и всегда равна половине площади параллелограмма $ABCD$.

Доказательство того, что $S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = S(\Delta AQC) + S(\Delta BQD)$

Проверим это утверждение. Из первой части мы знаем, что левая часть равенства равна $\frac{1}{2} S(ABCD)$. Следовательно, нам нужно доказать, что $S(\Delta AQC) + S(\Delta BQD) = \frac{1}{2} S(ABCD)$.

Рассмотрим частный случай. Пусть $ABCD$ — единичный квадрат с вершинами в точках $A(0, 1)$, $B(1, 1)$, $C(1, 0)$ и $D(0, 0)$. Его площадь $S(ABCD) = 1$.

Тогда сумма $S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD)$ должна быть равна $\frac{1}{2}$.

Пусть точка $Q$ совпадает с центром квадрата — точкой пересечения диагоналей $O(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

• Треугольник $AQC$ имеет вершины $A(0, 1)$, $Q(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $C(1, 0)$. Эти три точки лежат на одной прямой $y = -x + 1$. Следовательно, треугольник является вырожденным, и его площадь $S(\Delta AQC) = 0$.
• Треугольник $BQD$ имеет вершины $B(1, 1)$, $Q(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$, $D(0, 0)$. Эти три точки лежат на одной прямой $y = x$. Следовательно, его площадь $S(\Delta BQD) = 0$.

Сумма площадей $S(\Delta AQC) + S(\Delta BQD) = 0 + 0 = 0$.

При этом, как мы доказали ранее, $S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = \frac{1}{2} S(ABCD) = \frac{1}{2}$.

Получаем противоречие: $\frac{1}{2} \neq 0$. Это означает, что равенство $S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = S(\Delta AQC) + S(\Delta BQD)$ в общем случае неверно. Вероятно, в условии задачи содержится опечатка.

Часто в подобных задачах требуется доказать другое равенство: $S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = S(\Delta BQC) + S(\Delta DQA)$. Докажем его.

Если точка $Q$ находится внутри параллелограмма, то площадь всего параллелограмма равна сумме площадей четырех треугольников, на которые он разбивается отрезками, соединяющими точку $Q$ с вершинами:
$S(ABCD) = S(\Delta AQB) + S(\Delta BQC) + S(\Delta CQD) + S(\Delta DQA)$.

Из первой части доказательства мы знаем, что $S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = \frac{1}{2} S(ABCD)$.

Подставим это в предыдущее равенство:
$S(ABCD) = \frac{1}{2} S(ABCD) + S(\Delta BQC) + S(\Delta DQA)$.

Вычтем $\frac{1}{2} S(ABCD)$ из обеих частей:
$\frac{1}{2} S(ABCD) = S(\Delta BQC) + S(\Delta DQA)$.

Таким образом, мы получили два верных равенства:

1. $S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = \frac{1}{2} S(ABCD)$
2. $S(\Delta BQC) + S(\Delta DQA) = \frac{1}{2} S(ABCD)$

Из них следует, что $S(\Delta AQB) + S(\Delta CQD) = S(\Delta BQC) + S(\Delta DQA)$.

Ответ: Вторая часть утверждения, представленного в задаче, в общем виде неверна. Если предположить, что в условии допущена опечатка и оно должно звучать как "$...равна сумме площадей треугольников BQC и DQA$", то утверждение становится верным и его доказательство приведено выше.