Номер 839, страница 118 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

839. Докажите, что из всех отрезков, соединяющих данную точку $A$ внутри круга с точками окружности, наибольшим и наименьшим являются отрезки диаметра, проведенного через точку $A$.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и пусть точка $A$ находится внутри этой окружности. Проведем прямую через точки $A$ и $O$. Эта прямая пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра. Обозначим эти точки как $B$ и $C$.

Пусть точка $B$ выбрана так, что центр $O$ лежит между $A$ и $B$. Тогда расстояние от $A$ до $B$ будет равно сумме длин отрезков $AO$ и $OB$. Так как $OB$ — это радиус $R$, получаем:$AB = AO + R$.

Пусть точка $C$ — вторая точка пересечения. Для нее точка $A$ лежит между $O$ и $C$. Тогда расстояние от $A$ до $C$ будет равно разности длин отрезков $OC$ и $OA$. Так как $OC$ — это радиус $R$, получаем:$AC = OC - OA = R - OA$.

Теперь рассмотрим произвольную точку $M$ на окружности, отличную от $B$ и $C$. Соединим точки $O$, $A$ и $M$, образовав треугольник $\triangle OAM$. Длины сторон этого треугольника равны $OA$, $OM=R$ и $AM$.

Согласно неравенству треугольника, длина любой стороны не может быть больше суммы длин двух других сторон. Для стороны $AM$ имеем:$AM \le AO + OM$. Подставляя $OM = R$, получаем:$AM \le AO + R$. Сравнивая это с длиной отрезка $AB$, видим, что $AM \le AB$. Равенство достигается только тогда, когда точки $A, O, M$ лежат на одной прямой и $O$ лежит между $A$ и $M$. Это соответствует случаю, когда точка $M$ совпадает с точкой $B$. Следовательно, $AB$ — наибольший из всех отрезков, соединяющих $A$ с точками окружности.

Также по неравенству треугольника, длина любой стороны не может быть меньше модуля разности длин двух других сторон:$AM \ge |OM - AO|$. Поскольку точка $A$ находится внутри круга, $AO < R$, поэтому $OM - AO = R - AO > 0$. Таким образом:$AM \ge R - AO$. Сравнивая это с длиной отрезка $AC$, видим, что $AM \ge AC$. Равенство достигается только тогда, когда точки $O, A, M$ лежат на одной прямой и $A$ лежит между $O$ и $M$. Это соответствует случаю, когда точка $M$ совпадает с точкой $C$. Следовательно, $AC$ — наименьший из всех отрезков, соединяющих $A$ с точками окружности.

Таким образом, мы доказали, что для любой точки $M$ на окружности выполняется двойное неравенство $AC \le AM \le AB$. Следовательно, из всех отрезков, соединяющих данную точку $A$ внутри круга с точками окружности, наибольшим и наименьшим являются отрезки диаметра, проведенного через точку $A$.

Ответ: Доказательство основано на неравенстве треугольника, примененном к треугольнику $\triangle OAM$, где $O$ - центр окружности, $A$ - данная точка, $M$ - произвольная точка на окружности. Длина отрезка $AM$ удовлетворяет неравенству $|OM - AO| \le AM \le OM + AO$. Так как $OM=R$ (радиус), то $R - AO \le AM \le R + AO$. Максимальное значение $R+AO$ и минимальное $R-AO$ достигаются, когда точки $O, A, M$ лежат на одной прямой, то есть когда отрезки $AM$ являются частями диаметра, проходящего через точку $A$.