Номер 835, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

835. На каждой стороне квадрата отмечено по одной точке так, что они являются вершинами прямоугольника, стороны которого относятся как 1 : 3 (рис. 265). Найдите эти стороны, учитывая, что диагональ квадрата равна 40 см.

Пусть дан квадрат $ABCD$ со стороной $a$ и диагональю $d = 40$ см. На сторонах квадрата отмечены точки $E, F, G, H$, которые являются вершинами вписанного прямоугольника $EFGH$.

1. Нахождение стороны квадрата

Сторона квадрата $a$ связана с его диагональю $d$ соотношением $d = a\sqrt{2}$. Выразим сторону $a$:

$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = \frac{40\sqrt{2}}{2} = 20\sqrt{2}$ см.

2. Анализ геометрии задачи

По углам квадрата расположены четыре прямоугольных треугольника: $\triangle AHE, \triangle EBF, \triangle FCG, \triangle GDH$. Поскольку $EFGH$ является прямоугольником, его противолежащие стороны равны ($HE = FG$, $EF = HG$). Из равенства гипотенуз и свойств симметрии в квадрате следует, что треугольники попарно конгруэнтны: $\triangle AHE \cong \triangle CGF$ и $\triangle EBF \cong \triangle GDH$.

Пусть отрезки, отсекаемые вершинами прямоугольника от вершин квадрата, равны $AE = x$ и $AH = y$. Тогда из конгруэнтности треугольников следует:

$AE = CG = x$

$AH = CF = y$

$EB = GD = a - x$

$BF = DH = a - y$

Стороны прямоугольника $s_1$ и $s_2$ найдем по теореме Пифагора:

$s_1^2 = HE^2 = AE^2 + AH^2 = x^2 + y^2$

$s_2^2 = EF^2 = EB^2 + BF^2 = (a-x)^2 + (a-y)^2$

Так как диагонали прямоугольника равны ($EG=HF$), то равны и их квадраты. Выразим их через отрезки $x$ и $y$:

$EG^2 = (AE+EB - (a-CG))^2 + a^2$... Проще воспользоваться тем, что диагонали прямоугольника пересекаются в центре квадрата. Это приводит к тому, что $(a-2x)^2 = (a-2y)^2$.

Это равенство выполняется в двух случаях:

1) $a - 2x = a - 2y \Rightarrow x = y$.

2) $a - 2x = -(a - 2y) = 2y - a \Rightarrow 2a = 2x + 2y \Rightarrow a = x+y$.

3. Рассмотрение двух случаев

Случай 1: $x = y$

Подставим $y=x$ в формулы для сторон прямоугольника:

$s_1^2 = x^2 + x^2 = 2x^2 \Rightarrow s_1 = x\sqrt{2}$

$s_2^2 = (a-x)^2 + (a-x)^2 = 2(a-x)^2 \Rightarrow s_2 = (a-x)\sqrt{2}$

По условию, стороны относятся как $1:3$. Пусть $\frac{s_2}{s_1} = 3$.

$\frac{(a-x)\sqrt{2}}{x\sqrt{2}} = 3 \Rightarrow \frac{a-x}{x} = 3 \Rightarrow a-x = 3x \Rightarrow a = 4x$.

Это является возможным решением.

Случай 2: $a = x+y$

Подставим $y = a-x$ в формулы для сторон:

$s_1^2 = x^2 + (a-x)^2$

$s_2^2 = (a-x)^2 + (a-(a-x))^2 = (a-x)^2 + x^2$

В этом случае $s_1^2 = s_2^2$, что означает $s_1 = s_2$. Прямоугольник является квадратом, и соотношение его сторон равно $1:1$, что противоречит условию задачи. Следовательно, этот случай не подходит.

4. Расчет сторон прямоугольника

Итак, мы используем результат из первого случая: $a=4x$, или $x = \frac{a}{4}$.

Мы знаем, что сторона квадрата $a = 20\sqrt{2}$ см. Найдем $x$:

$x = \frac{20\sqrt{2}}{4} = 5\sqrt{2}$ см.

Теперь вычислим длины сторон прямоугольника $s_1$ и $s_2$:

$s_1 = x\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 5 \cdot 2 = 10$ см.

$s_2 = 3 \cdot s_1 = 3 \cdot 10 = 30$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 10 см и 30 см.