Номер 829, страница 117 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

829. Средняя линия равнобедренной трапеции разделяется диагональю на отрезки длинами 4 см и 10 см (рис. 264). Найдите меньший угол трапеции, учитывая, что ее боковая сторона равна 12 см.

Рис. 264

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD > BC$) и боковой стороной $AB = CD = 12$ см. Пусть $MN$ — средняя линия трапеции, а $AC$ — диагональ, которая пересекает $MN$ в точке $K$. По условию, отрезки средней линии равны $MK = 4$ см и $KN = 10$ см.

1. Нахождение оснований трапеции

Рассмотрим треугольник $ABC$. Отрезок $MK$ соединяет середину стороны $AB$ (точка $M$) с точкой $K$ на стороне $AC$. Так как средняя линия $MN$ параллельна основаниям, то $MK$ параллельна $BC$. Следовательно, $MK$ является средней линией треугольника $ABC$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, которому она параллельна:

$MK = \frac{1}{2} BC$

Отсюда находим меньшее основание $BC$:

$BC = 2 \cdot MK = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Аналогично рассмотрим треугольник $ACD$. Отрезок $KN$ соединяет точку $K$ на стороне $AC$ с серединой стороны $CD$ (точка $N$). Так как $KN$ является частью средней линии трапеции, $KN$ параллельна $AD$. Следовательно, $KN$ является средней линией треугольника $ACD$.

$KN = \frac{1}{2} AD$

Отсюда находим большее основание $AD$:

$AD = 2 \cdot KN = 2 \cdot 10 = 20$ см.

2. Нахождение меньшего угла трапеции

Меньшими углами в равнобедренной трапеции являются углы при большем основании. Найдем угол $\angle A$.

Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины меньшего основания на большее, отсекает от него отрезок, длина которого равна полуразности оснований.

$AH = \frac{AD - BC}{2}$

Подставим найденные значения оснований:

$AH = \frac{20 - 8}{2} = \frac{12}{2} = 6$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известны:

• гипотенуза $AB = 12$ см (боковая сторона трапеции);
• катет $AH = 6$ см.

Косинус угла $A$ в этом треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$\cos(\angle A) = \frac{AH}{AB} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$.

$\angle A = 60^\circ$

Таким образом, меньший угол трапеции равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$