Номер 822, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

822. Точка $K$ на стороне $AB$ прямоугольника $ABCD$ выбрана так, что $\angle ADK = 30^\circ$, $\angle CKD = 90^\circ$ (рис. 263). Найдите отношение сторон прямоугольника и отношение отрезков, на которые точка $K$ раз- деляет сторону $AB$.

Рис. 263

Найдите отношение сторон прямоугольника
Пусть $ABCD$ – данный прямоугольник. Обозначим длину стороны $AD$ как $a$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADK$ (так как $\angle A = 90^\circ$, поскольку $ABCD$ - прямоугольник). По условию $\angle ADK = 30^\circ$.
Найдем угол $\angle KDC$. Так как $\angle ADC = 90^\circ$ (угол прямоугольника), то $\angle KDC = \angle ADC - \angle ADK = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $ADK$ найдем длину гипотенузы $DK$:
$DK = \frac{AD}{\cos(\angle ADK)} = \frac{a}{\cos(30^\circ)} = \frac{a}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CKD$ ($\angle CKD = 90^\circ$ по условию). В нем $CD$ – гипотенуза, а $DK$ – катет, прилежащий к углу $\angle KDC = 60^\circ$. Найдем длину гипотенузы $CD$:
$CD = \frac{DK}{\cos(\angle KDC)} = \frac{\frac{2a}{\sqrt{3}}}{\cos(60^\circ)} = \frac{\frac{2a}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}} = \frac{4a}{\sqrt{3}}$.
Мы нашли длины смежных сторон прямоугольника: $AD = a$ и $CD = \frac{4a}{\sqrt{3}}$. Их отношение равно (отношение меньшей стороны к большей):
$\frac{AD}{CD} = \frac{a}{\frac{4a}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Найдите отношение отрезков, на которые точка K разделяет сторону AB
Точка $K$ разделяет сторону $AB$ на отрезки $AK$ и $KB$. Найдем их длины, используя введенное обозначение $AD=a$.
В прямоугольном треугольнике $ADK$ найдем катет $AK$:
$AK = AD \cdot \tan(\angle ADK) = a \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.
Длина стороны $AB$ равна длине стороны $CD$, которую мы нашли в предыдущем пункте: $AB = CD = \frac{4a}{\sqrt{3}}$.
Тогда длина отрезка $KB$ равна:
$KB = AB - AK = \frac{4a}{\sqrt{3}} - \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{3a}{\sqrt{3}} = a\sqrt{3}$.
Найдем искомое отношение отрезков $AK$ к $KB$:
$\frac{AK}{KB} = \frac{\frac{a}{\sqrt{3}}}{a\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $1:3$.