Номер 817, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

817. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ — середины сторон $CD$, $DA$, $AB$, $BC$ квадрата $ABCD$. Докажите, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат, и найдите площади четырехугольников $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, учитывая, что $AA_1 = a$.

Доказательство, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $s$. Точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ являются серединами сторон $CD, DA, AB, BC$ соответственно. Это означает, что отрезки, на которые эти точки делят стороны, равны $s/2$. Например, $A C_1 = C_1 B = B D_1 = D_1 C = C A_1 = A_1 D = D B_1 = B_1 A = s/2$.

Рассмотрим четыре треугольника, расположенные в углах квадрата $ABCD$: $\triangle AB_1C_1$, $\triangle BC_1D_1$, $\triangle CD_1A_1$ и $\triangle DA_1B_1$.

Все эти треугольники являются прямоугольными, так как их вершины $A, B, C, D$ — это углы исходного квадрата (равны $90^\circ$). Катеты каждого из этих треугольников равны $s/2$. Например, в $\triangle AB_1C_1$ катеты $AB_1 = s/2$ и $AC_1 = s/2$. Следовательно, все четыре треугольника равны по двум катетам (или по признаку SAS — сторона, угол, сторона).

Стороны четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ являются гипотенузами этих равных треугольников. Из равенства треугольников следует равенство их гипотенуз: $A_1B_1 = B_1C_1 = C_1D_1 = D_1A_1$. Найдем длину стороны $A_1B_1C_1D_1$ по теореме Пифагора для треугольника $\triangle DA_1B_1$: $A_1B_1^2 = DA_1^2 + DB_1^2 = (s/2)^2 + (s/2)^2 = s^2/4 + s^2/4 = s^2/2$. Таким образом, все стороны четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равны $\sqrt{s^2/2} = s/\sqrt{2}$. Так как все стороны четырехугольника равны, $A_1B_1C_1D_1$ является ромбом.

Чтобы доказать, что $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат, нужно показать, что один из его углов прямой. Рассмотрим поворот квадрата $ABCD$ на $90^\circ$ вокруг его центра. При таком повороте вершина $A$ переходит в $B$, $B$ в $C$, $C$ в $D$, $D$ в $A$. Соответственно, середина стороны $DA$ (точка $B_1$) переходит в середину стороны $AB$ (точку $C_1$), а середина стороны $CD$ (точка $A_1$) переходит в середину стороны $DA$ (точку $B_1$). Таким образом, отрезок $A_1B_1$ переходит в отрезок $B_1C_1$. Поскольку поворот был на $90^\circ$, угол между исходным отрезком $A_1B_1$ и его образом $B_1C_1$ составляет $90^\circ$. Значит, $\angle A_1B_1C_1 = 90^\circ$.

Ромб, у которого есть прямой угол, является квадратом. Следовательно, четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ — квадрат.

Ответ: Что и требовалось доказать.

Нахождение площадей четырехугольников ABCD и A₁B₁C₁D₁

Пусть сторона квадрата $ABCD$ по-прежнему равна $s$. Его площадь $S_{ABCD} = s^2$. Нам дано, что длина отрезка $AA_1 = a$. Точка $A$ — вершина квадрата, а точка $A_1$ — середина стороны $CD$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADA_1$ с прямым углом при вершине $D$. Его катеты: $AD = s$ (сторона квадрата) и $DA_1 = CD/2 = s/2$. Гипотенуза: $AA_1 = a$.

По теореме Пифагора: $AD^2 + DA_1^2 = AA_1^2$ $s^2 + (s/2)^2 = a^2$ $s^2 + s^2/4 = a^2$ $\frac{5}{4}s^2 = a^2$

Отсюда мы можем выразить площадь квадрата $ABCD$: $S_{ABCD} = s^2 = \frac{4}{5}a^2$.

Теперь найдем площадь квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Мы уже вычислили, что квадрат его стороны равен $A_1B_1^2 = s^2/2$. Следовательно, площадь квадрата $A_1B_1C_1D_1$ равна: $S_{A_1B_1C_1D_1} = A_1B_1^2 = \frac{s^2}{2}$.

Подставим найденное значение $s^2 = \frac{4}{5}a^2$: $S_{A_1B_1C_1D_1} = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{5}a^2 \right) = \frac{2}{5}a^2$.

Ответ: Площадь четырехугольника $ABCD$ равна $S_{ABCD} = \frac{4}{5}a^2$. Площадь четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ равна $S_{A_1B_1C_1D_1} = \frac{2}{5}a^2$.