Номер 816, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

816. У двух выпуклых четырехугольников совпадают середины сторон (рис. 261). Докажите, что эти четырехугольники равновелики.

Рис. 261

Пусть даны два выпуклых четырехугольника $ABCD$ и $A'B'C'D'$. Пусть $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. По условию, эти же точки являются серединами сторон $A'B', B'C', C'D', D'A'$.

Рассмотрим четырехугольник $KLMN$, образованный последовательным соединением середин сторон четырехугольника $ABCD$. Согласно теореме Вариньона, такой четырехугольник является параллелограммом, и его площадь равна половине площади исходного четырехугольника.

Докажем этот факт. Площадь четырехугольника $ABCD$ можно представить как сумму площадей треугольников, на которые его разбивает диагональ, например, $AC$: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}$.

Отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABC$, поэтому $\triangle KBL$ подобен $\triangle ABC$ с коэффициентом подобия $\frac{1}{2}$. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно:

$S_{\triangle KBL} = (\frac{1}{2})^2 S_{\triangle ABC} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC}$

Аналогично, $MN$ — средняя линия треугольника $ADC$, поэтому:

$S_{\triangle MDN} = (\frac{1}{2})^2 S_{\triangle ADC} = \frac{1}{4} S_{\triangle ADC}$

Сумма площадей этих двух "угловых" треугольников равна:

$S_{\triangle KBL} + S_{\triangle MDN} = \frac{1}{4} S_{\triangle ABC} + \frac{1}{4} S_{\triangle ADC} = \frac{1}{4} (S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ADC}) = \frac{1}{4} S_{ABCD}$

Точно так же, рассмотрев диагональ $BD$, можно показать, что сумма площадей двух других "угловых" треугольников, $S_{\triangle NAK}$ и $S_{\triangle MCL}$, также составляет четверть площади исходного четырехугольника:

$S_{\triangle NAK} + S_{\triangle MCL} = \frac{1}{4} S_{ABCD}$

Таким образом, суммарная площадь всех четырех "угловых" треугольников, отсекаемых сторонами параллелограмма Вариньона, равна:

$S_{углов} = (S_{\triangle KBL} + S_{\triangle MDN}) + (S_{\triangle NAK} + S_{\triangle MCL}) = \frac{1}{4} S_{ABCD} + \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Площадь параллелограмма $KLMN$ равна площади четырехугольника $ABCD$ за вычетом площадей этих четырех треугольников:

$S_{KLMN} = S_{ABCD} - S_{углов} = S_{ABCD} - \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{1}{2} S_{ABCD}$

Итак, мы установили, что площадь любого выпуклого четырехугольника вдвое больше площади параллелограмма, образованного серединами его сторон.

Поскольку у четырехугольников $ABCD$ и $A'B'C'D'$ середины сторон совпадают, то параллелограмм Вариньона $KLMN$ у них общий. Следовательно:

$S_{ABCD} = 2 \cdot S_{KLMN}$

$S_{A'B'C'D'} = 2 \cdot S_{KLMN}$

Из этого следует, что $S_{ABCD} = S_{A'B'C'D'}$.

Таким образом, данные четырехугольники равновелики, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Площадь каждого из четырехугольников равна удвоенной площади одного и того же параллелограмма, образованного общими серединами их сторон, а значит, площади этих четырехугольников равны.