Номер 818, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

818. Докажите, что если в трапеции сумма противоположных углов равна $180^\circ$, то эта трапеция равнобедренная.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой основаниями являются $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). По свойству трапеции, сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$, так как они являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых. Таким образом, справедливы равенства: $\angle A + \angle B = 180^\circ$ и $\angle C + \angle D = 180^\circ$.

По условию задачи, сумма противоположных углов трапеции равна $180^\circ$. Это означает, что выполняется одно из двух условий: либо $\angle A + \angle C = 180^\circ$, либо $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Рассмотрим оба случая.

1. Предположим, что $\angle A + \angle C = 180^\circ$. Мы знаем, что для трапеции верно равенство $\angle C + \angle D = 180^\circ$. Сравнивая эти два равенства:

$\angle A + \angle C = \angle C + \angle D$

Вычитая из обеих частей $\angle C$, получаем $\angle A = \angle D$.

2. Предположим, что $\angle B + \angle D = 180^\circ$. Мы знаем, что для трапеции верно равенство $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Сравнивая эти два равенства:

$\angle B + \angle D = \angle A + \angle B$

Вычитая из обеих частей $\angle B$, получаем $\angle D = \angle A$.

В обоих случаях мы приходим к выводу, что углы при основании $AD$ равны ($\angle A = \angle D$). По признаку равнобедренной трапеции, если углы при одном из оснований трапеции равны, то такая трапеция является равнобедренной.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.