Номер 823, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

823. Перпендикуляр, опущенный из вершины прямоугольника на его диагональ, разделяет соответствующий угол в отношении 1 : 4. Найдите угол между этим перпендикуляром и другой диагональю прямоугольника.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Из вершины $B$ опущен перпендикуляр $BH$ на диагональ $AC$. Согласно условию, этот перпендикуляр делит угол при вершине $B$, то есть $\angle ABC$, в отношении $1:4$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его углы прямые, следовательно, $\angle ABC = 90^\circ$. Пусть перпендикуляр $BH$ делит этот угол на две части: $\angle ABH$ и $\angle HBC$. Обозначим величину меньшей части как $x$, а большей как $4x$.

Их сумма равна полному углу $\angle ABC$:
$x + 4x = 90^\circ$
$5x = 90^\circ$
$x = 18^\circ$

Таким образом, углы равны $\angle ABH = 18^\circ$ и $\angle HBC = 4 \cdot 18^\circ = 72^\circ$ (или наоборот, что не изменит конечного ответа).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (поскольку $BH \perp AC$, угол $\angle BHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Отсюда находим угол $\angle BAH$ (который является также углом $\angle BAC$):
$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 18^\circ = 72^\circ$.

Теперь рассмотрим свойства диагоналей прямоугольника. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $AO = BO$. Это означает, что треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным.

В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ углы при основании равны: $\angle OBA = \angle OAB$. Так как $\angle OAB$ — это тот же угол, что и $\angle BAH$, то $\angle OAB = 72^\circ$. Следовательно, $\angle OBA = 72^\circ$.

Нам нужно найти угол между перпендикуляром $BH$ и другой диагональю $BD$. Это угол $\angle HBD$.
Мы знаем, что $\angle OBA = 72^\circ$ и его часть $\angle ABH = 18^\circ$. Угол $\angle HBD$ является их разностью:
$\angle HBD = \angle OBA - \angle ABH = 72^\circ - 18^\circ = 54^\circ$.

Ответ: $54^\circ$.