Номер 827, страница 116 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

827. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна 24 см, а сумма оснований — 90 см. Найдите большее основание трапеции, учитывая, что ее острый угол равен $60^\circ$.

Пусть дана равнобедренная трапеция, где $a$ – большее основание, $b$ – меньшее основание, $c$ – боковая сторона, и $\alpha$ – острый угол при большем основании.
Согласно условию задачи:
$c = 24$ см
$a + b = 90$ см
$\alpha = 60^\circ$

Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее. В результате у большего основания образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции $c$, а одним из катетов – отрезок $x$, который является проекцией боковой стороны на большее основание.

Этот катет $x$ можно найти, используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике:
$\cos(\alpha) = \frac{x}{c}$
$x = c \cdot \cos(\alpha)$
Подставим известные значения:
$x = 24 \cdot \cos(60^\circ)$
Так как $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, то:
$x = 24 \cdot \frac{1}{2} = 12$ см.

Для равнобедренной трапеции большее основание связано с меньшим через длину проекции боковой стороны по формуле:
$a = b + 2x$
Отсюда разность оснований равна:
$a - b = 2x$
$a - b = 2 \cdot 12 = 24$ см.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a$ и $b$:
$\begin{cases} a + b = 90 \\ a - b = 24 \end{cases}$

Чтобы найти большее основание $a$, сложим два уравнения:
$(a + b) + (a - b) = 90 + 24$
$2a = 114$
$a = \frac{114}{2}$
$a = 57$ см.

Ответ: 57 см.