Номер 809, страница 115 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

809. Биссектриса угла $A$ параллелограмма $ABCD$ пересекает его сторону в такой точке $K$, что $KB \perp KA$. Найдите периметр параллелограмма, учитывая, что $KD = 13$ см.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. $AK$ — биссектриса угла $A$, и точка $K$ лежит на одной из сторон параллелограмма. По условию $KB \perp KA$, что означает $∠AKB = 90°$. Также известно, что $KD = 13$ см.

Рассмотрим, на какой стороне может лежать точка $K$.

Предположим, что точка $K$ лежит на стороне $BC$. Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$. При секущей $AK$ накрест лежащие углы равны: $∠DAK = ∠AKB$. Поскольку $AK$ — биссектриса угла $A$, то $∠DAK = ∠BAK$. Из этих двух равенств следует, что $∠BAK = ∠AKB$. Это означает, что треугольник $ABK$ равнобедренный, и $AB=BK$. По условию задачи $KB \perp KA$, следовательно, $∠AKB = 90°$. Тогда и $∠BAK = 90°$. Так как $AK$ — биссектриса, то $∠A = ∠BAK + ∠DAK = 90° + 90° = 180°$, что для параллелограмма невозможно. Значит, точка $K$ не может лежать на стороне $BC$.

Следовательно, точка $K$ лежит на стороне $CD$.
1. Поскольку $AK$ — биссектриса угла $A$, имеем $∠BAK = ∠DAK$.
2. Так как в параллелограмме $AB \parallel CD$, то накрест лежащие углы при секущей $AK$ равны: $∠BAK = ∠AKD$.
3. Из пунктов 1 и 2 следует, что $∠DAK = ∠AKD$. Таким образом, треугольник $ADK$ является равнобедренным с основанием $AK$, а значит $AD = DK$. По условию $DK = 13$ см, следовательно, сторона $AD = 13$ см.

Теперь используем условие $KB \perp KA$, то есть $∠AKB = 90°$.
1. В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180°$, то есть $∠A + ∠B = 180°$.
2. В прямоугольном треугольнике $ABK$ сумма острых углов равна $90°$: $∠BAK + ∠ABK = 90°$.
3. Так как $AK$ — биссектриса, $∠BAK = \frac{1}{2}∠A$. Подставив это в предыдущее равенство, получим $∠ABK = 90° - \frac{1}{2}∠A$.
4. Из соотношения $∠A + ∠B = 180°$ следует, что $\frac{1}{2}∠B = \frac{1}{2}(180° - ∠A) = 90° - \frac{1}{2}∠A$.
5. Сравнивая выражения для $∠ABK$ и $\frac{1}{2}∠B$, заключаем, что $∠ABK = \frac{1}{2}∠B$. Это означает, что отрезок $BK$ является биссектрисой угла $B$.

Поскольку $BK$ — биссектриса угла $B$ ($∠ABK = ∠CBK$) и $AB \parallel CD$, то накрест лежащие углы при секущей $BK$ равны: $∠ABK = ∠BKC$. Отсюда следует, что $∠CBK = ∠BKC$. Значит, треугольник $BCK$ является равнобедренным с основанием $BK$, и $BC = CK$.

Теперь найдем периметр параллелограмма.
- Длина стороны $AD = 13$ см.
- В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD = 13$ см.
- Из равнобедренного треугольника $BCK$ мы получили $BC = CK$, следовательно, $CK = 13$ см.
- Сторона $CD$ состоит из отрезков $DK$ и $CK$: $CD = DK + CK = 13 + 13 = 26$ см.
- Противоположная сторона $AB$ равна $CD$, так что $AB = 26$ см.
- Периметр параллелограмма $P_{ABCD} = 2(AB + AD) = 2(26 + 13) = 2 \cdot 39 = 78$ см.

Ответ: 78 см.