Номер 802, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

802. Точка $K$ на стороне $BC$ параллелограмма $ABCD$ выбрана так, что $AK = BC$. Найдите величину угла $B$, учитывая, что $\angle CDK = 48^\circ$.

Дано:

ABCD – параллелограмм.

Точка K лежит на стороне BC.

AK = BC.

∠CDK = 48°.

Найти:

∠B.

Решение:

1. Из свойств параллелограмма известно, что противолежащие стороны равны, следовательно, $BC = AD$. По условию задачи $AK = BC$, из чего следует, что $AK = AD$.

2. Треугольник $ADK$ является равнобедренным, так как $AK = AD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠AKD = ∠ADK$.

3. Так как $ABCD$ – параллелограмм, его противолежащие стороны параллельны: $AD \parallel BC$. Прямая $DK$ является секущей для этих параллельных прямых. Накрест лежащие углы при секущей равны, следовательно, $∠ADK = ∠CKD$.

4. Объединяя результаты пунктов 2 и 3, получаем: $∠AKD = ∠ADK = ∠CKD$. Обозначим величину этих равных углов через $\alpha$. Таким образом, $∠AKD = ∠ADK = ∠CKD = \alpha$.

5. В параллелограмме противолежащие углы равны, то есть $∠B = ∠D$. Угол $D$ состоит из двух углов: $∠D = ∠ADC = ∠ADK + ∠CDK$. Подставляя известные значения, получаем: $∠D = \alpha + 48°$. Следовательно, $∠B = \alpha + 48°$.

6. Для нахождения $\alpha$ выполним дополнительное построение. Построим на стороне $AD$ внутри параллелограмма равносторонний треугольник $ADL$. Тогда $AD = AL = DL$, а все его углы равны $60°$, в частности $∠ADL = 60°$.

7. Так как $AK = AD$ и $AL = AD$, то $AK = AL$. Это означает, что треугольник $AKL$ также является равнобедренным. Найдем угол при его вершине $A$:$∠KAL = ∠KAD - ∠LAD$. Из равнобедренного треугольника $ADK$ угол $∠KAD = 180° - (∠AKD + ∠ADK) = 180° - 2\alpha$. Угол $∠LAD = 60°$ из построения. Тогда $∠KAL = (180° - 2\alpha) - 60° = 120° - 2\alpha$. Углы при основании треугольника $AKL$ равны: $∠AKL = ∠ALK = \frac{180° - (120° - 2\alpha)}{2} = \frac{60° + 2\alpha}{2} = 30° + \alpha$.

8. Теперь рассмотрим углы вокруг точки $K$ и $D$.$∠LKD = ∠AKL - ∠AKD = (30° + \alpha) - \alpha = 30°$. (Это предполагает, что луч $KD$ лежит между лучами $KA$ и $KL$, что соответствует стандартной конфигурации).$∠KDL = ∠ADK - ∠ADL = \alpha - 60°$. (Это предполагает, что $\alpha > 60°$).

9. В треугольнике $KDL$ сумма углов равна $180°$. Третий угол:$∠KLD = 180° - ∠LKD - ∠KDL = 180° - 30° - (\alpha - 60°) = 150° - \alpha + 60° = 210° - \alpha$.

10. Применим теорему синусов к треугольнику $KDL$:$\frac{DL}{\sin(∠LKD)} = \frac{DK}{\sin(∠KLD)}$$\frac{DL}{\sin(30°)} = \frac{DK}{\sin(210° - \alpha)}$Так как $DL = AD$, получаем: $DK = AD \cdot \frac{\sin(210° - \alpha)}{\sin(30°)} = 2AD \cdot \sin(210° - \alpha)$.

11. Теперь применим теорему синусов к треугольнику $ADK$:$\frac{DK}{\sin(∠KAD)} = \frac{AD}{\sin(∠AKD)}$$\frac{DK}{\sin(180° - 2\alpha)} = \frac{AD}{\sin(\alpha)}$$DK = AD \cdot \frac{\sin(180° - 2\alpha)}{\sin(\alpha)} = AD \cdot \frac{\sin(2\alpha)}{\sin(\alpha)} = AD \cdot \frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = 2AD \cdot \cos(\alpha)$.

12. Приравниваем два полученных выражения для $DK$:$2AD \cdot \sin(210° - \alpha) = 2AD \cdot \cos(\alpha)$$\sin(210° - \alpha) = \cos(\alpha)$Используя формулу приведения $\cos(\alpha) = \sin(90° - \alpha)$, получаем:$\sin(210° - \alpha) = \sin(90° - \alpha)$Это равенство выполняется, если:а) $210° - \alpha = 90° - \alpha$, что приводит к $210° = 90°$ (неверно).б) $(210° - \alpha) + (90° - \alpha) = 180°$$300° - 2\alpha = 180°$$2\alpha = 120°$$\alpha = 60°$.

13. Мы нашли значение $\alpha$. Теперь можем вычислить искомый угол $B$:$∠B = \alpha + 48° = 60° + 48° = 108°$.

Ответ: $108°$.