Номер 795, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

795. Из точки $K$ на стороне угла $ABC$ проведены лучи $KL$, $KM$ и $KN$ так, что $KL$ — биссектриса угла $BKM$ и $KN$ — биссектриса угла $CKM$. Найдите угол $KMN$, учитывая, что угол $BLK$ равен $145^\circ$.

Для решения задачи проанализируем геометрическую конфигурацию, описанную в условии. Точка $K$ расположена на стороне угла $ABC$. Предположим, что она лежит на луче $BC$. Лучи $KL$, $KM$ и $KN$ проведены из точки $K$.

Рассмотрим углы, биссектрисы которых даны в условии: $\angle BKM$ и $\angle CKM$. Оба этих угла имеют вершину в точке $K$. Чтобы эти углы были различными и смежными, как предполагает задача, их стороны $KB$ и $KC$ должны быть противоположно направленными лучами. Это возможно, если точка $K$ лежит между точками $B$ и $C$ на прямой $BC$. В этом случае угол $\angle BKC$ является развернутым, и его величина составляет $180^\circ$.

Таким образом, углы $\angle BKM$ и $\angle CKM$ являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$: $$ \angle BKM + \angle CKM = 180^\circ $$

По условию, луч $KL$ — биссектриса угла $BKM$. По определению биссектрисы, она делит угол пополам: $$ \angle LKM = \frac{1}{2} \angle BKM $$

Аналогично, луч $KN$ — биссектриса угла $CKM$: $$ \angle NKM = \frac{1}{2} \angle CKM $$

Искомый угол $LKN$ является суммой углов $LKM$ и $NKM$, так как луч $KM$ проходит между лучами $KL$ и $KN$. $$ \angle LKN = \angle LKM + \angle NKM $$

Подставим в это равенство выражения для углов $\angle LKM$ и $\angle NKM$: $$ \angle LKN = \frac{1}{2} \angle BKM + \frac{1}{2} \angle CKM $$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки: $$ \angle LKN = \frac{1}{2} (\angle BKM + \angle CKM) $$

Мы уже установили, что сумма смежных углов $\angle BKM$ и $\angle CKM$ равна $180^\circ$. Подставим это значение в формулу: $$ \angle LKN = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ $$

Условие, что $\angle BLK = 145^\circ$, является избыточным для нахождения величины угла $LKN$. Угол между биссектрисами двух смежных углов всегда равен $90^\circ$ независимо от других параметров.

Ответ: $90^\circ$.