Номер 789, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

789. У треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны периметры, а также углы $A$ и $A_1, B$ и $B_1$. Докажите, что треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны.

Дано:

Даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.
Их периметры равны: $P_{ABC} = P_{A_1B_1C_1}$.
Две пары соответственных углов равны: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$.

Доказать:

$\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем величину третьих углов в данных треугольниках.
В $\triangle ABC$: $\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$.
В $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle C_1 = 180^\circ - (\angle A_1 + \angle B_1)$.
Так как по условию $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$, то из этого следует, что и $\angle C = \angle C_1$.

2. Поскольку все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника ($\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$), данные треугольники являются подобными. То есть, $\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$.

3. Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны. Отношение соответственных сторон равно коэффициенту подобия, который мы обозначим как $k$:
$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = k$.
Из этого соотношения мы можем выразить стороны треугольника $ABC$ через стороны треугольника $A_1B_1C_1$ и коэффициент $k$:
$AB = k \cdot A_1B_1$
$BC = k \cdot B_1C_1$
$AC = k \cdot A_1C_1$

4. Периметр треугольника — это сумма длин его сторон. Запишем периметр для $\triangle ABC$, используя выражения из предыдущего пункта:
$P_{ABC} = AB + BC + AC = k \cdot A_1B_1 + k \cdot B_1C_1 + k \cdot A_1C_1 = k(A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1)$.
Выражение в скобках является периметром треугольника $A_1B_1C_1$, поэтому: $P_{ABC} = k \cdot P_{A_1B_1C_1}$.

5. Согласно условию задачи, периметры треугольников равны: $P_{ABC} = P_{A_1B_1C_1}$.
Подставив это в полученное нами уравнение, получаем: $k \cdot P_{A_1B_1C_1} = P_{A_1B_1C_1}$.
Так как периметр любого невырожденного треугольника — это положительное число ($P_{A_1B_1C_1} > 0$), мы можем разделить обе части уравнения на $P_{A_1B_1C_1}$. В результате получаем, что коэффициент подобия $k = 1$.

6. Если коэффициент подобия двух треугольников равен 1, это означает, что их соответственные стороны равны:
$AB = A_1B_1$
$BC = B_1C_1$
$AC = A_1C_1$

7. Теперь мы можем доказать равенство треугольников, используя, например, второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам; ASA).
Мы имеем:$\angle A = \angle A_1$ (по условию),$AB = A_1B_1$ (как доказано в п. 6),$\angle B = \angle B_1$ (по условию).Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ доказано.