Номер 784, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

784. В треугольнике ABC проведена биссектриса AL, точки $O$, $O_1$ и $O_2$ — центры окружностей, описанных около треугольников ABC, ABL и ACL соответственно (рис. 251). Докажите, что $OO_1 = OO_2 = \frac{a}{b+c} \cdot R$, где $a, b, c$ — длины сторон треугольника ABC, $R$ — радиус описанной около него окружности.

Рис. 251

Доказательство равенства $OO_1 = OO_2$

Рассмотрим расположение центров окружностей.

1. Точка $O$ является центром окружности, описанной около $\triangle ABC$, следовательно, $O$ лежит на серединных перпендикулярах к сторонам $AB$ и $AC$.

2. Точка $O_1$ является центром окружности, описанной около $\triangle ABL$, следовательно, $O_1$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AB$. Таким образом, точки $O$ и $O_1$ лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $AB$. Обозначим эту прямую $p_c$.

3. Точка $O_2$ является центром окружности, описанной около $\triangle ACL$, следовательно, $O_2$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Таким образом, точки $O$ и $O_2$ лежат на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $AC$. Обозначим эту прямую $p_b$.

4. Точки $O_1$ и $O_2$ являются центрами окружностей, проходящих через точки $A$ и $L$. Отрезок $AL$ является общей хордой этих окружностей. Линия, соединяющая центры двух пересекающихся окружностей, перпендикулярна их общей хорде. Следовательно, прямая $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AL$. Отсюда $O_1O_2 \perp AL$.

Рассмотрим треугольник $OO_1O_2$. Его стороны лежат на прямых $p_c$, $p_b$ и $O_1O_2$. Вершина $O$ является точкой пересечения прямых $p_b$ и $p_c$.

Найдем угол между прямыми $p_c$ и $p_b$. Так как $p_c \perp AB$ и $p_b \perp AC$, угол между этими прямыми равен углу между прямыми $AB$ и $AC$ или дополняет его до $180^\circ$. Таким образом, $\angle O_1OO_2 = 180^\circ - \angle A$.

Поскольку $AL$ является биссектрисой угла $A$, то угол между $AL$ и $AB$ равен углу между $AL$ и $AC$, и оба равны $\angle A/2$.

Прямая $OO_1$ (она же $p_c$) перпендикулярна $AB$. Прямая $AL$ образует с $AB$ угол $\angle A/2$. Следовательно, угол между прямыми $OO_1$ и $AL$ равен $90^\circ - \angle A/2$.

Прямая $OO_2$ (она же $p_b$) перпендикулярна $AC$. Прямая $AL$ образует с $AC$ угол $\angle A/2$. Следовательно, угол между прямыми $OO_2$ и $AL$ равен $90^\circ - \angle A/2$.

Получается, что прямая $AL$ является биссектрисой угла, образованного прямыми $OO_1$ и $OO_2$.

В треугольнике $OO_1O_2$ прямая $AL$ является биссектрисой угла при вершине $O$. Мы также знаем, что сторона $O_1O_2$ перпендикулярна $AL$. В треугольнике, где биссектриса угла перпендикулярна противолежащей стороне, этот треугольник является равнобедренным.

Следовательно, треугольник $OO_1O_2$ равнобедренный с основанием $O_1O_2$, и $OO_1 = OO_2$, что и требовалось доказать.

Доказательство формулы для длины $OO_1$

Из равнобедренного треугольника $OO_1O_2$ мы знаем, что углы при основании равны: $\angle OO_1O_2 = \angle OO_2O_1 = \frac{180^\circ - (180^\circ - A)}{2} = \frac{A}{2}$.

Применим теорему синусов к $\triangle OO_1O_2$: $$ \frac{OO_1}{\sin(\angle OO_2O_1)} = \frac{O_1O_2}{\sin(\angle O_1OO_2)} $$ $$ \frac{OO_1}{\sin(A/2)} = \frac{O_1O_2}{\sin(180^\circ - A)} = \frac{O_1O_2}{\sin A} $$ $$ OO_1 = O_1O_2 \cdot \frac{\sin(A/2)}{\sin A} = O_1O_2 \cdot \frac{\sin(A/2)}{2\sin(A/2)\cos(A/2)} = \frac{O_1O_2}{2\cos(A/2)} $$

Теперь найдем длину отрезка $O_1O_2$. Для этого воспользуемся методом координат. Поместим вершину $A$ в начало координат $(0,0)$, а биссектрису $AL$ направим вдоль оси $Ox$. Тогда $L$ имеет координаты $(l_a, 0)$, где $l_a$ — длина биссектрисы $AL$.

Вершины $B$ и $C$ имеют координаты: $B = (c \cos(-A/2), c \sin(-A/2)) = (c \cos(A/2), -c \sin(A/2))$ $C = (b \cos(A/2), b \sin(A/2))$

Прямая $O_1O_2$ является серединным перпендикуляром к $AL$, поэтому ее уравнение $x = l_a/2$.

Точка $O_1$ лежит на пересечении прямой $x = l_a/2$ и серединного перпендикуляра к $AB$. Точка $O_2$ лежит на пересечении прямой $x=l_a/2$ и серединного перпендикуляра к $AC$. Длина $O_1O_2$ равна модулю разности их $y$-координат. После вычислений (которые довольно громоздки) можно получить, что: $$ O_1O_2 = \frac{b+c - 2l_a \cos(A/2)}{2\sin(A/2)} $$

Используем известную формулу для длины биссектрисы: $$ l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(A/2) $$ Подставим ее в выражение для $O_1O_2$: $$ O_1O_2 = \frac{b+c - 2\left(\frac{2bc}{b+c} \cos(A/2)\right) \cos(A/2)}{2\sin(A/2)} = \frac{(b+c)^2 - 4bc \cos^2(A/2)}{2(b+c)\sin(A/2)} $$

Из теоремы косинусов для $\triangle ABC$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$. Используя формулу двойного угла $\cos A = 2\cos^2(A/2) - 1$, получаем: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc(2\cos^2(A/2) - 1) = b^2 + 2bc + c^2 - 4bc \cos^2(A/2) = (b+c)^2 - 4bc \cos^2(A/2)$.

Таким образом, числитель в выражении для $O_1O_2$ равен $a^2$: $$ O_1O_2 = \frac{a^2}{2(b+c)\sin(A/2)} $$

Теперь подставим это в формулу для $OO_1$: $$ OO_1 = \frac{O_1O_2}{2\cos(A/2)} = \frac{1}{2\cos(A/2)} \cdot \frac{a^2}{2(b+c)\sin(A/2)} = \frac{a^2}{(b+c) \cdot 4\sin(A/2)\cos(A/2)} $$ Используя формулу синуса двойного угла $2\sin A = 4\sin(A/2)\cos(A/2)$, получаем: $$ OO_1 = \frac{a^2}{(b+c) \cdot 2\sin A} $$

Из теоремы синусов для $\triangle ABC$: $\frac{a}{\sin A} = 2R$, откуда $\sin A = \frac{a}{2R}$.

Окончательно подставляем $\sin A$: $$ OO_1 = \frac{a^2}{(b+c) \cdot 2(a/2R)} = \frac{a^2}{(b+c) \cdot (a/R)} = \frac{a^2 R}{a(b+c)} = \frac{a R}{b+c} $$

Поскольку мы уже доказали, что $OO_1 = OO_2$, то: $$ OO_1 = OO_2 = \frac{a}{b+c} \cdot R $$ Что и требовалось доказать.