Номер 781, страница 111 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

781. Прямая, параллельная стороне $AB$ треугольника $ABC$, отсекает от него треугольник $MNC$ (рис. 249). Докажите, что окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $MNC$, касаются.

Рис. 249

Обозначим окружность, описанную около треугольника $ABC$, как $\Omega$, а окружность, описанную около треугольника $MNC$, как $\omega$.

По условию, прямая $MN$ параллельна стороне $AB$ ($MN \parallel AB$). Следовательно, треугольник $MNC$ подобен треугольнику $ABC$ ($\triangle MNC \sim \triangle ABC$), так как $\angle CMN = \angle CAB$ и $\angle CNM = \angle CBA$ являются соответственными углами при параллельных прямых $MN$ и $AB$ и секущих $AC$ и $BC$.

Рассмотрим гомотетию (центральное подобие) с центром в точке $C$. Коэффициент гомотетии $k$ будет равен отношению соответственных сторон: $k = \frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB}$.

При этой гомотетии образом точки $A$ является точка $M$ (поскольку $M$ лежит на луче $CA$ и $CM = k \cdot CA$), образом точки $B$ является точка $N$ (поскольку $N$ лежит на луче $CB$ и $CN = k \cdot CB$), а точка $C$ как центр гомотетии отображается сама на себя. Таким образом, гомотетия с центром $C$ и коэффициентом $k$ отображает треугольник $ABC$ на треугольник $MNC$.

Гомотетия преобразует окружность в окружность. Следовательно, описанная окружность $\Omega$ треугольника $ABC$ при этой гомотетии преобразуется в описанную окружность $\omega$ треугольника $MNC$.

Точка $C$, являясь центром гомотетии, одновременно принадлежит и исходной окружности $\Omega$ (как вершина треугольника $ABC$). По ключевому свойству гомотетии, если центр гомотетии лежит на окружности, то ее образ касается исходной окружности в этом центре.

Следовательно, окружность $\omega$ касается окружности $\Omega$ в их общей точке $C$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Окружности, описанные около треугольников $ABC$ и $MNC$, касаются.