Номер 775, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

775. Два угла треугольника равны $60^\circ$ и $45^\circ$, а сторона против меньшего из них — $7 \text{ см}$. Найдите третий угол и две другие стороны.

Нахождение третьего угла

Пусть даны два угла треугольника, $\alpha = 60^\circ$ и $\beta = 45^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем третий угол $\gamma$:

$\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (60^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$.

Нахождение двух других сторон

Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$ и $c$, лежащие против углов $\alpha=60^\circ$, $\beta=45^\circ$ и $\gamma=75^\circ$ соответственно.

По условию, сторона против меньшего из двух данных углов ($\beta = 45^\circ$) равна 7 см. Значит, $b = 7$ см.

Для нахождения двух других сторон, $a$ и $c$, воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$.

Сначала найдем сторону $a$, лежащую против угла $\alpha = 60^\circ$:

$\frac{a}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

$a = \frac{b \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ} = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{3}\sqrt{2}}{2} = \frac{7\sqrt{6}}{2}$ см.

Теперь найдем сторону $c$, лежащую против угла $\gamma = 75^\circ$:

$\frac{c}{\sin 75^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

$c = \frac{b \cdot \sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}$.

Значение синуса $75^\circ$ можно найти по формуле синуса суммы: $\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$.

Подставляем значения: $c = \frac{7 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{7(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{7(\sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{2})}{2\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}} = \frac{7(\sqrt{3} + 1)}{2}$ см.

Ответ: $\frac{7\sqrt{6}}{2}$ см и $\frac{7(\sqrt{3} + 1)}{2}$ см.