Номер 778, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

778. Найдите угол A четырехугольника ABCD, учитывая, что $\angle C = \angle D = 60^\circ$, $AB = 3$, $BC = \sqrt{3}$, $AD = 2\sqrt{3}$.

Для решения задачи воспользуемся методом дополнительного построения. Продолжим боковые стороны $BC$ и $AD$ четырехугольника $ABCD$ до их пересечения в точке $P$.

Рассмотрим образовавшийся треугольник $PDC$. По условию, углы четырехугольника $\angle C = 60^{\circ}$ и $\angle D = 60^{\circ}$. Эти углы являются также углами треугольника $PDC$ при его основании $CD$, то есть $\angle PCD = 60^{\circ}$ и $\angle PDC = 60^{\circ}$. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол треугольника $\angle CPD$ (или $\angle P$) равен:
$\angle P = 180^{\circ} - (\angle PCD + \angle PDC) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 60^{\circ}) = 60^{\circ}$.
Так как все углы треугольника $PDC$ равны $60^{\circ}$, он является равносторонним. Следовательно, его стороны равны: $PC = PD = CD$.

Теперь рассмотрим расположение точек. Поскольку стороны четырехугольника имеют заданные длины, возможен только один вариант расположения точек: точки $A$ и $B$ лежат на сторонах $PD$ и $PC$ соответственно, то есть между точкой $P$ и точками $D$ и $C$.
Таким образом, длины сторон $PD$ и $PC$ можно выразить через длины отрезков $PA$, $AD$, $PB$, $BC$:
$PD = PA + AD = PA + 2\sqrt{3}$
$PC = PB + BC = PB + \sqrt{3}$
Так как $PD = PC$, мы можем приравнять эти выражения:
$PA + 2\sqrt{3} = PB + \sqrt{3}$
$PB = PA + \sqrt{3}$

Теперь рассмотрим треугольник $PAB$. Мы знаем, что $\angle P = 60^{\circ}$ и $AB=3$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов:
$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2 \cdot PA \cdot PB \cdot \cos(\angle P)$
Обозначим длину отрезка $PA$ как $y$, тогда $PB = y + \sqrt{3}$. Подставим известные значения в формулу:
$3^2 = y^2 + (y + \sqrt{3})^2 - 2 \cdot y \cdot (y + \sqrt{3}) \cdot \cos(60^{\circ})$
$9 = y^2 + (y^2 + 2\sqrt{3}y + 3) - 2y(y + \sqrt{3}) \cdot \frac{1}{2}$
$9 = 2y^2 + 2\sqrt{3}y + 3 - y(y + \sqrt{3})$
$9 = 2y^2 + 2\sqrt{3}y + 3 - y^2 - \sqrt{3}y$
$9 = y^2 + \sqrt{3}y + 3$
$y^2 + \sqrt{3}y - 6 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:
$y = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{3 + 24}}{2} = \frac{-\sqrt{3} \pm \sqrt{27}}{2} = \frac{-\sqrt{3} \pm 3\sqrt{3}}{2}$
Так как длина отрезка $y=PA$ не может быть отрицательной, выбираем корень со знаком плюс:
$y = \frac{-\sqrt{3} + 3\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.
Итак, мы нашли длину $PA = \sqrt{3}$.

Теперь найдем искомый угол $A$ четырехугольника $ABCD$, то есть $\angle DAB$. В треугольнике $PAB$ мы знаем длины всех сторон: $PA = \sqrt{3}$, $AB = 3$, и можем найти $PB = PA + \sqrt{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$. Найдем угол $\angle PAB$ в треугольнике $PAB$, используя теорему косинусов:
$PB^2 = PA^2 + AB^2 - 2 \cdot PA \cdot AB \cdot \cos(\angle PAB)$
$(2\sqrt{3})^2 = (\sqrt{3})^2 + 3^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3 \cdot \cos(\angle PAB)$
$12 = 3 + 9 - 6\sqrt{3} \cos(\angle PAB)$
$12 = 12 - 6\sqrt{3} \cos(\angle PAB)$
$6\sqrt{3} \cos(\angle PAB) = 0$
$\cos(\angle PAB) = 0$
Отсюда следует, что $\angle PAB = 90^{\circ}$.

Точки $P$, $A$, $D$ лежат на одной прямой, причем $A$ находится между $P$ и $D$. Это означает, что угол $\angle PAB$ и искомый угол $\angle DAB$ являются смежными, и их сумма равна $180^{\circ}$.
$\angle DAB = 180^{\circ} - \angle PAB = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
Следовательно, угол $A$ четырехугольника $ABCD$ равен $90^{\circ}$.

Ответ: $90^{\circ}$