Номер 777, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

777. В равнобедренном треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $30^\circ$. Точка $K$ на боковой стороне $AB$ выбрана так, что $AC : BK = \sqrt{2} : 1$. 1. Найдите угол $ACK$.

Поскольку треугольник $ABC$ является равнобедренным с углом $∠B = 30^\circ$, углы при его основании $AC$ равны. Найдем их величину: $∠BAC = ∠BCA = (180^\circ - 30^\circ) / 2 = 150^\circ / 2 = 75^\circ$.

Пусть искомый угол $∠ACK = x$. Тогда $∠BCK = ∠BCA - ∠ACK = 75^\circ - x$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и применим к нему теорему синусов: $\frac{AC}{\sin(∠ABC)} = \frac{BC}{\sin(∠BAC)}$ $\frac{AC}{\sin(30^\circ)} = \frac{BC}{\sin(75^\circ)}$ Отсюда можно выразить сторону $BC$: $BC = AC \frac{\sin(75^\circ)}{\sin(30^\circ)}$.

Теперь рассмотрим треугольник $BCK$. Найдем его углы: $∠CBK = 30^\circ$, $∠BCK = 75^\circ - x$, и, следовательно, $∠BKC = 180^\circ - 30^\circ - (75^\circ - x) = 75^\circ + x$. Применим теорему синусов к треугольнику $BCK$: $\frac{BK}{\sin(∠BCK)} = \frac{BC}{\sin(∠BKC)}$ $\frac{BK}{\sin(75^\circ - x)} = \frac{BC}{\sin(75^\circ + x)}$ Отсюда также выразим сторону $BC$: $BC = BK \frac{\sin(75^\circ + x)}{\sin(75^\circ - x)}$.

Приравняем два полученных выражения для стороны $BC$: $AC \frac{\sin(75^\circ)}{\sin(30^\circ)} = BK \frac{\sin(75^\circ + x)}{\sin(75^\circ - x)}$

Из условия задачи известно, что $AC : BK = \sqrt{2} : 1$, или $\frac{AC}{BK} = \sqrt{2}$. Подставим это соотношение в наше уравнение: $\sqrt{2} \cdot \frac{\sin(75^\circ)}{\sin(30^\circ)} = \frac{\sin(75^\circ + x)}{\sin(75^\circ - x)}$

Зная, что $\sin(30^\circ) = 1/2$, получаем: $2\sqrt{2} \sin(75^\circ) = \frac{\sin(75^\circ + x)}{\sin(75^\circ - x)}$

Вычислим значение левой части уравнения. Используем формулу синуса суммы: $\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. Тогда $2\sqrt{2} \sin(75^\circ) = 2\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} = \frac{2\sqrt{12} + 4}{4} = \frac{4\sqrt{3} + 4}{4} = \sqrt{3} + 1$.

Теперь наше уравнение выглядит так: $\sqrt{3} + 1 = \frac{\sin(75^\circ + x)}{\sin(75^\circ - x)}$ $(\sqrt{3} + 1)\sin(75^\circ - x) = \sin(75^\circ + x)$

Раскроем синусы по формулам суммы и разности углов: $(\sqrt{3} + 1)(\sin(75^\circ)\cos(x) - \cos(75^\circ)\sin(x)) = \sin(75^\circ)\cos(x) + \cos(75^\circ)\sin(x)$

Сгруппируем члены с $\sin(x)$ и $\cos(x)$: $\cos(x) [(\sqrt{3} + 1)\sin(75^\circ) - \sin(75^\circ)] = \sin(x) [\cos(75^\circ) + (\sqrt{3} + 1)\cos(75^\circ)]$ $\cos(x) \cdot \sqrt{3}\sin(75^\circ) = \sin(x) \cdot (\sqrt{3} + 2)\cos(75^\circ)$

Выразим $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$: $\tan(x) = \frac{\sqrt{3}\sin(75^\circ)}{(\sqrt{3} + 2)\cos(75^\circ)} = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \tan(75^\circ)$

Вычислим значение $\tan(75^\circ)$: $\tan(75^\circ) = \tan(45^\circ + 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) + \tan(30^\circ)}{1 - \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 + 1/\sqrt{3}}{1 - 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^2}{3 - 1} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$.

Подставим это значение в выражение для $\tan(x)$: $\tan(x) = \frac{\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot (2 + \sqrt{3}) = \sqrt{3}$.

Отсюда находим угол $x$. Так как $x$ является частью угла в $75^\circ$, он должен быть острым, следовательно $x = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.