Номер 779, страница 110 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

779. В вершину $A$ треугольника $ABC$ из центра описанной окружности проведен радиус $QA$, из вершины $A$ проведена высота $AK$ (рис. 247). Докажите, что углы $QAB$ и $KAC$ равны.

Рис. 247

Рассмотрим треугольник $ABC$, вписанный в окружность с центром в точке $Q$. $QA$ — радиус окружности, а $AK$ — высота, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$.

Поскольку $AK$ — высота, то $AK \perp BC$, и следовательно, треугольник $AKC$ является прямоугольным с $∠AKC = 90°$. Сумма углов в треугольнике $AKC$ равна $180°$, поэтому $∠KAC + ∠ACK + ∠AKC = 180°$. Заменяя $∠ACK$ на $∠C$ и $∠AKC$ на $90°$, получаем $∠KAC + ∠C + 90° = 180°$. Отсюда следует, что $∠KAC = 90° - ∠C$.

Теперь рассмотрим треугольник $AQB$. Так как $Q$ — центр описанной окружности, отрезки $QA$ и $QB$ являются её радиусами, значит $QA = QB$. Следовательно, треугольник $AQB$ — равнобедренный, и углы при его основании равны: $∠QAB = ∠QBA$.

Угол $∠AQB$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AB$. Угол $∠ACB$ (или $∠C$) — это вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. По свойству углов окружности, центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу. Таким образом, $∠AQB = 2 \cdot ∠C$.

Сумма углов в треугольнике $AQB$ равна $180°$: $∠QAB + ∠QBA + ∠AQB = 180°$. Так как $∠QAB = ∠QBA$, мы можем переписать это как $2 \cdot ∠QAB + ∠AQB = 180°$. Выразим отсюда $∠QAB$: $∠QAB = (180° - ∠AQB) / 2 = 90° - ∠AQB / 2$.

Подставив в последнее равенство $∠AQB = 2 \cdot ∠C$, получим: $∠QAB = 90° - (2 \cdot ∠C) / 2 = 90° - ∠C$.

Мы получили два выражения: $∠KAC = 90° - ∠C$ и $∠QAB = 90° - ∠C$. Так как правые части этих равенств равны, то равны и левые части: $∠QAB = ∠KAC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство углов $∠QAB$ и $∠KAC$ доказано.