Номер 785, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

785. В равнобедренной трапеции диагональ является биссектрисой тупого угла, средняя линия равна $m$. Найдите:

а) меньшее основание трапеции, учитывая, что большее основание на $n$ отличается от периметра;

б) большее основание трапеции, учитывая, что меньшее основание на $n$ отличается от периметра.

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — основания, причем $AD > BC$. $AB$ и $CD$ — боковые стороны, $AB = CD$. Пусть диагональ $AC$ является биссектрисой тупого угла $BCD$.

Обозначим длины оснований как $AD = a$ и $BC = b$. Длину боковой стороны обозначим как $c$, то есть $AB = CD = c$.

По условию, диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BCD$. Это означает, что $∠BCA = ∠ACD$.

Так как основания трапеции параллельны ($BC \parallel AD$), то углы $∠BCA$ и $∠CAD$ являются накрест лежащими при секущей $AC$. Следовательно, $∠BCA = ∠CAD$.

Из двух равенств получаем, что $∠ACD = ∠CAD$. Это означает, что треугольник $ACD$ является равнобедренным с основанием $AC$, и его боковые стороны равны: $CD = AD$.

Поскольку трапеция равнобедренная ($AB=CD$), то $AB = CD = AD = a$. Таким образом, боковые стороны равны большему основанию.

Средняя линия трапеции равна $m$. По определению, средняя линия равна полусумме оснований:

$m = \frac{a+b}{2}$

Отсюда следует важное соотношение: $a+b = 2m$.

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P = AB + BC + CD + AD = a + b + a + a = 3a + b$.

Теперь решим каждую из подзадач.

а)

По условию, большее основание на $n$ отличается от периметра. Так как периметр всегда больше основания, это означает, что $P - a = n$, или $a = P - n$.

Подставим в это уравнение выражение для периметра $P = 3a + b$:

$a = (3a + b) - n$

Упростим полученное выражение:

$n = 3a + b - a$

$n = 2a + b$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:

1) $a + b = 2m$

2) $2a + b = n$

Нам нужно найти меньшее основание $b$. Вычтем первое уравнение из второго:

$(2a + b) - (a + b) = n - 2m$

$a = n - 2m$

Теперь подставим найденное значение $a$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$(n - 2m) + b = 2m$

$b = 2m - (n - 2m)$

$b = 4m - n$

Ответ: $4m - n$

б)

По условию, меньшее основание на $n$ отличается от периметра. Это означает, что $P - b = n$, или $b = P - n$.

Подставим в это уравнение выражение для периметра $P = 3a + b$:

$b = (3a + b) - n$

Упростим полученное выражение:

$0 = 3a - n$

$3a = n$

Нам нужно найти большее основание $a$. Из полученного уравнения сразу находим:

$a = \frac{n}{3}$

Ответ: $\frac{n}{3}$