Номер 790, страница 112 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

790. Докажите, что прямоугольные треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны, если равны их гипотенузы и одинаковы разности их катетов.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABC$ с прямым углом $C$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямым углом $C_1$.

Обозначим длины катетов $\triangle ABC$ как $a$ и $b$, а гипотенузу как $c$. Для $\triangle A_1B_1C_1$ длины катетов будут $a_1$ и $b_1$, а гипотенузы — $c_1$.

Согласно условию задачи, гипотенузы треугольников равны, то есть $c = c_1$. Также равны разности их катетов. Без ограничения общности, предположим, что $a \ge b$ и $a_1 \ge b_1$. Тогда условие можно записать как $a - b = a_1 - b_1$.

Для любого прямоугольного треугольника справедлива теорема Пифагора. Запишем её для наших треугольников:

$a^2 + b^2 = c^2$

$a_1^2 + b_1^2 = c_1^2$

Поскольку $c = c_1$, то и $c^2 = c_1^2$. Это позволяет нам приравнять левые части уравнений:

$a^2 + b^2 = a_1^2 + b_1^2$

Обозначим одинаковую разность катетов буквой $d$: $a - b = a_1 - b_1 = d$. Отсюда можно выразить большие катеты через меньшие:

$a = b + d$

$a_1 = b_1 + d$

Теперь подставим эти выражения в равенство $a^2 + b^2 = a_1^2 + b_1^2$:

$(b + d)^2 + b^2 = (b_1 + d)^2 + b_1^2$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$b^2 + 2bd + d^2 + b^2 = b_1^2 + 2b_1d + d^2 + b_1^2$

$2b^2 + 2bd + d^2 = 2b_1^2 + 2b_1d + d^2$

Вычтем $d^2$ из обеих частей и разделим уравнение на 2:

$2b^2 + 2bd = 2b_1^2 + 2b_1d$

$b^2 + bd = b_1^2 + b_1d$

Перенесем все слагаемые в одну сторону и разложим на множители:

$b^2 - b_1^2 + bd - b_1d = 0$

$(b - b_1)(b + b_1) + d(b - b_1) = 0$

$(b - b_1)(b + b_1 + d) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два возможных случая:

1. $b - b_1 = 0$.

2. $b + b_1 + d = 0$.

Второй случай невозможен. Длины катетов $b$ и $b_1$ являются положительными величинами ($b > 0$, $b_1 > 0$). Разность катетов $d = a - b$ является неотрицательной ($d \ge 0$). Сумма двух положительных и одного неотрицательного числа не может быть равна нулю.

Следовательно, верным может быть только первый случай: $b - b_1 = 0$, что означает $b = b_1$.

Зная, что $b = b_1$, вернемся к условию о равенстве разностей катетов: $a - b = a_1 - b_1$. Подставив $b = b_1$, получим $a - b_1 = a_1 - b_1$, откуда следует, что $a = a_1$.

Таким образом, мы доказали, что соответствующие катеты данных прямоугольных треугольников равны ($a=a_1$ и $b=b_1$). По признаку равенства прямоугольных треугольников по двум катетам, $\triangle ABC$ равен $\triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Утверждение доказано, прямоугольные треугольники равны.