Номер 793, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

793. Основания AC и PR треугольников ABC и PQR расположены на одной прямой, $AB = PQ$, $\angle ABC = \angle PQR$, $\angle BAC = \angle QPR$, M — общая середина отрезков CR и AP (рис. 254). Учитывая, что треугольники ABC и PQR расположены по разные стороны от прямой AC, докажите, что:

a) треугольники BCP и QRA равны;

b) прямые BP и AQ параллельны.

Рис. 254

а) треугольники BCP и QRA равны;

Сначала докажем, что треугольники $ABC$ и $PQR$ равны. По условию задачи нам дано:

• $AB = PQ$
• $\angle ABC = \angle PQR$
• $\angle BAC = \angle QPR$

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Поэтому мы можем найти третьи углы этих треугольников:

$\angle BCA = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ABC)$

$\angle PRQ = 180^\circ - (\angle QPR + \angle PQR)$

Так как по условию $\angle BAC = \angle QPR$ и $\angle ABC = \angle PQR$, то из этого следует, что $\angle BCA = \angle PRQ$.

Теперь мы можем утверждать, что $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников), если рассмотреть сторону $AC$ и $PR$ (которые будут равны), или по стороне и двум углам (AAS), если использовать данную сторону $AB$ и углы $\angle BAC$ и $\angle ABC$. Из равенства треугольников $ABC$ и $PQR$ следует, что их соответствующие стороны равны, в частности:

$BC = QR$ и $AC = PR$.

Теперь перейдем к доказательству равенства треугольников $BCP$ и $QRA$. Мы будем использовать первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Сторона: Как мы уже доказали выше, $BC = QR$.

2. Сторона: Найдем длины сторон $CP$ и $RA$. Точки $A, R, C, P$ лежат на одной прямой. По условию, точка $M$ является общей серединой отрезков $CR$ и $AP$.

• Из того, что $M$ — середина $AP$, следует, что $AM = MP$.
• Из того, что $M$ — середина $CR$, следует, что $CM = MR$.

Выразим длины отрезков $RA$ и $CP$.

$RA = AM - RM$

$CP = MP - MC$

Поскольку $AM = MP$ и $RM = MC$, то отсюда следует, что $RA = CP$.

3. Угол: Найдем угол между этими сторонами. Для $\triangle BCP$ это угол $\angle BCP$. Для $\triangle QRA$ это угол $\angle QRA$.

• Так как точки $A, C, P$ лежат на одной прямой, $\angle BCP$ — это тот же угол, что и $\angle BCA$.
• Так как точки $P, R, A$ лежат на одной прямой, $\angle QRA$ — это тот же угол, что и $\angle PRQ$.

Ранее мы доказали, что из равенства $\triangle ABC \cong \triangle PQR$ следует $\angle BCA = \angle PRQ$. Следовательно, $\angle BCP = \angle QRA$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в $\triangle BCP$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в $\triangle QRA$ ($BC = QR$, $CP = RA$, $\angle BCP = \angle QRA$).

Следовательно, $\triangle BCP \cong \triangle QRA$ по первому признаку равенства треугольников.

Ответ: Равенство треугольников $BCP$ и $QRA$ доказано.

б) прямые BP и AQ параллельны.

Для доказательства параллельности прямых $BP$ и $AQ$ воспользуемся результатом, полученным в пункте а).

Мы доказали, что $\triangle BCP \cong \triangle QRA$. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, в том числе и углов.

Следовательно, угол $\angle BPC$ в треугольнике $BCP$ равен соответствующему ему углу $\angle QAR$ в треугольнике $QRA$. То есть, $\angle BPC = \angle QAR$.

Рассмотрим прямые $BP$ и $AQ$. Прямая $AP$ является для них секущей. Углы $\angle BPC$ и $\angle QAR$ являются накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых $BP$ и $AQ$ секущей $AP$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны.

Так как $\angle BPC = \angle QAR$, то прямые $BP$ и $AQ$ параллельны.

Ответ: Параллельность прямых $BP$ и $AQ$ доказана.