Номер 799, страница 114 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

799. Прямые, проведенные через точки $K$ и $N$ на сторонах $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ параллельно $AC$ и $AB$ соответственно, пересекаются в точке $L$ на стороне $BC$ (рис. 257). Периметр четырехугольника $AKLN$ равен 34, $KB = 5$, $LN = 12$, $\angle BAC = 46^\circ$. Найдите величину угла $B$.

Рис. 257

1. Определение вида четырехугольника AKLN.
По условию, прямая, проходящая через точку $K$ на стороне $AB$, параллельна стороне $AC$. Поскольку точка $N$ лежит на $AC$, то $KL \parallel AN$.
Аналогично, прямая, проходящая через точку $N$ на стороне $AC$, параллельна стороне $AB$. Поскольку точка $K$ лежит на $AB$, то $LN \parallel AK$.
Четырехугольник $AKLN$, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом.

2. Вычисление длин сторон.
Одно из свойств параллелограмма — равенство противолежащих сторон. Таким образом, $AK = LN$ и $AN = KL$.
В условии дано, что $LN = 12$, следовательно, $AK = 12$.
Периметр параллелограмма $AKLN$ вычисляется по формуле $P_{AKLN} = 2(AK + AN)$. По условию $P_{AKLN} = 34$.
Подставим известные значения: $2(12 + AN) = 34$
$12 + AN = 17$
$AN = 17 - 12 = 5$
Так как $AN = KL$, то $KL = 5$.

3. Анализ треугольника KBL.
Рассмотрим треугольник $KBL$. Из условия нам известна длина стороны $KB = 5$. Из предыдущего шага мы нашли, что $KL = 5$.
Поскольку две стороны треугольника $KBL$ равны ($KB = KL = 5$), он является равнобедренным.
В равнобедренном треугольнике углы, лежащие напротив равных сторон, равны. Угол, противолежащий стороне $KL$, это $\angle KBL$ (то есть $\angle B$). Угол, противолежащий стороне $KB$, это $\angle BLK$.
Следовательно, должно выполняться равенство: $\angle B = \angle BLK$.

4. Нахождение угла B.
По условию задачи, прямая $KL$ параллельна прямой $AC$ ($KL \parallel AC$). Прямая $AB$ является секущей для этих параллельных прямых.
Соответственные углы при пересечении параллельных прямых секущей равны, поэтому $\angle BKL = \angle BAC$.
Нам дано, что $\angle BAC = 46^{\circ}$, значит, $\angle BKL = 46^{\circ}$.
Сумма углов в любом треугольнике равна $180^{\circ}$. Для треугольника $KBL$ это записывается как:
$\angle B + \angle BKL + \angle BLK = 180^{\circ}$
Заменим $\angle BKL$ на $46^{\circ}$ и $\angle BLK$ на $\angle B$ из предыдущего пункта:
$\angle B + 46^{\circ} + \angle B = 180^{\circ}$
$2\angle B + 46^{\circ} = 180^{\circ}$
$2\angle B = 180^{\circ} - 46^{\circ}$
$2\angle B = 134^{\circ}$
$\angle B = \frac{134^{\circ}}{2} = 67^{\circ}$

Ответ: $67^{\circ}$.